Les propriétés du produit scalaire

Soient $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ deux vecteurs.

On note $||\vec{u}|| $ et $||\vec{v}|| $ les normes respectives des vecteurs $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$, et $ (\vec{u} , \vec{v})$ l'angle formé par les deux vecteurs.

On appelle le produit scalaire $ \vec{u}.\vec{v} $, le nombre réel résultant de :

$$ \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v}) $$

C'est la norme du projeté orthogonal du vecteur $ \vec{u}$ sur le vecteur $ \vec{v}$, multiplié par la norme du vecteur $ \vec{v}$.

Projeté orthogonal du vecteur u sur le vecteur v

Commutativité

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ \vec{u} . \vec{v} = \vec{v}. \vec{u} $$

Vecteurs orthogonaux

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$

$$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux \Longleftrightarrow \vec{u}. \vec{v} = 0 $$

Carré scalaire

$$ \forall \vec{u},$$

$$ \vec{u}.\vec{u} = || \vec{u} ||^2 $$

Produit des coordonnées

$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$

$$ \vec{u}. \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$

Bilinéarité

$$ \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda\vec{u}).\vec{v} = \vec{u}.(\lambda\vec{v}) = |\lambda| \times \vec{u}. \vec{v}$$

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire $ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v})$, on obtient :

$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v}) = |\lambda| \times |\mu| \times \vec{u}. \vec{v} $$

Distributivité par rapport à l'addition

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w} $$

Et aussi la distributivé à gauche :

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$

$$ (\vec{u} + \vec{v}) . \vec{w} = \vec{u}.\vec{w} + \vec{v}.\vec{w} $$

Identités remarquables

On a les mêmes formules que les identités remarquables.

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 - 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2= (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) $$

Expression en fonction des normes

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} + \vec{v} ||^2 - || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2 \right ) $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} ||^2 + || \vec{v} ||^2 - || \vec{u} -\vec{v} ||^2 \right ) $$

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

Démonstrations

Commutativité

Soient $\vec{u} $ et $\vec{v} $ deux vecteurs.

Pour les deux produits scalaires $ \vec{u}.\vec{v} $ et $ \vec{v}.\vec{u} $, on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v}) \\ \vec{v}.\vec{u} = ||\vec{v}|| \times ||\vec{u}|| \times cos(\vec{v}, \vec{u}) \end{align*} $$

Si on appelle $\alpha $ = $ (\vec{u}, \vec{v}) $, l'angle entre $ \vec{u} $ et $\vec{v} $, alors :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} cos(\alpha ) = cos(\vec{u}, \vec{v}) \\ cos( - \alpha ) = cos(\vec{v}, \vec{u}) \end{align*} $$

Or, la fonction cosinus est paire et : $ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ cos(\alpha ) = cos(-\alpha ) $.

Alors on en déduit que : $ cos(\vec{u}, \vec{v}) = cos(\vec{v}, \vec{u}) $.

Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\vec{v}.\vec{u} $$

Vecteurs orthogonaux

Soient $\vec{u} $ et $\vec{v} $ deux vecteurs différents du vecteur nul.

Implication de gauche à droite

Partons de l'hypothèse que $\vec{u} $ et $\vec{v} $ sont orthogonaux.

Alors, par la définition du produit scalaire,

$$ \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v}) $$

Mais si $\vec{u} $ et $\vec{v} $ sont orthogonaux, alors $cos(\vec{u}, \vec{v}) = cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Alors leur produit scalaire sera nul, et :

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$

$$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux \Longrightarrow \vec{u}. \vec{v} = 0 $$

Réciproque

Réciroquement, étant donné que par hypothèse nos deux vecteurs $\vec{u} $ et $\vec{v} $ sont différents du vecteur nul, alors :

$$ \vec{u}. \vec{v} = 0 \Longrightarrow cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

Et,

$$ \forall k \in \mathbb{N}, \ cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longrightarrow \Biggl\{ (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{k\pi}{2} \Biggr \} $$

Alors, les deux vecteurs $\vec{u} $ et $\vec{v} $ sont orthogonaux.

$$\vec{u}. \vec{v} = 0 \Longrightarrow \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux $$

Conclusion

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$

$$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ orthogonaux \Longleftrightarrow \vec{u}. \vec{v} = 0 $$

Carré scalaire

Soit un vecteur $\vec{u} $.

Alors, par la définition du produit scalaire,

$$ \vec{u}.\vec{u} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{u}|| \times cos(\vec{u}, \vec{u}) $$

Mais $cos(\vec{u}, \vec{u}) = cos \left(0\right) = 1 $.

Alors, il reste uniquement les normes des deux vecteurs.

Soit finalement :

$$ \forall \vec{u},$$

$$ \vec{u}.\vec{u} = || \vec{u} ||^2 $$

Produit des coordonnées

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ et telle que la figure suivante :

Alors on peut exprimer $\vec{u} $ et $\vec{v} $ sous la forme suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k} \\ \vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} \end{align*} $$

Alors le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v} $ vaut :

$$ \vec{u}.\vec{v} = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . ( x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k}) $$

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx'\vec{i}.\vec{i} + xy'\vec{i}.\vec{j} + xz'\vec{i}.\vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yy''\vec{j}.\vec{j} + yz'\vec{j}.\vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k}.\vec{j} + zz'\vec{k}.\vec{k} $$

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx' || \vec{i} ||^2 + yy''|| \vec{j} ||^2 + zz'|| \vec{k} ||^2 + xy'\vec{i}.\vec{j} + xz'\vec{i}.\vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yz'\vec{j}.\vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k}.\vec{j} \qquad (1) $$

Les trois vecteurs $\vec{i},\vec{j}, \vec{k} $ sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

$$ || \vec{i} ||^2 = || \vec{j} ||^2 = || \vec{k} ||^2 = 1 $$

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormaux, les trois vecteurs $\vec{i},\vec{j}, \vec{k} $ sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :

$$ \vec{i}.\vec{j} = \vec{i}.\vec{k}= \vec{j}.\vec{k} = 0 $$

Et par commutativité du produit scalaire, on a aussi :

$$ \vec{j}.\vec{i} = \vec{k}.\vec{i}= \vec{k}.\vec{j} = 0 $$

Soit en réécrivant $(1) $,

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'' + zz' + \hspace{0.1em} \underbrace { xy'\vec{i}.\vec{j} + xz'\vec{i}.\vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yz'\vec{j}.\vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k}.\vec{j} } _\text{ $= \hspace{0.1em} 0$} $$

Et finalement,

$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$

$$ \vec{u}. \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$

Bilinéarité

Soient $(\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2$ deux réels et $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}, \ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs.

En effectuant le produit scalaire $ (\lambda\vec{u}).\vec{v}$, on a :

$$ (\lambda\vec{u}).\vec{v} = || \lambda \vec{u} || \times || \vec{v} || \times cos(\lambda \vec{u}, \vec{v}) $$

La norme $ || \lambda \vec{u} || $ du vecteur $ \vec{\lambda u}\begin{pmatrix} \lambda x\\ \lambda y\\ \lambda z \end{pmatrix} $ vaut :

$$ || \lambda \vec{u} || = \sqrt{ (\lambda x)^2 + (\lambda y)^2 + (\lambda z)^2 }$$

$$ || \lambda \vec{u} || = \sqrt{ \lambda^2 (x^2 + y^2 + z^2) }$$

$$ || \lambda \vec{u} || = |\lambda| \times || \vec{u} ||$$

Soit,

$$ (\lambda\vec{u}).\vec{v} = |\lambda| \times || \vec{u} || \times || \vec{v} || \times cos(\lambda \vec{u}, \vec{v}) $$

Concernant l'angle $ (\lambda \vec{u}, \vec{v}) $, il n'est pas différent de $ ( \vec{u}, \vec{v}) $, car $ ( \lambda \vec{u}) $ n'est que le prolongement du vecteur $ \vec{u}$.

$$ (\lambda\vec{u}).\vec{v} = |\lambda| \times || \vec{u} || \times || \vec{v} || \times cos( \vec{u}, \vec{v}) $$

Soit finalement,

$$ \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda\vec{u}).\vec{v} = |\lambda| \times \vec{u}. \vec{v}$$

Par ailleurs, en effectuant le même raisonnement, on obtient aussi la linéarité à droite :

$$ \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ \vec{u}.(\lambda\vec{v}) = |\lambda| \times \vec{u}. \vec{v}$$

On a alors une bilinéarité :

$$ \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda\vec{u}).\vec{v} = \vec{u}.(\lambda\vec{v}) = |\lambda| \times \vec{u}. \vec{v}$$

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire $ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v})$, on obtient :

$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$

$$ (\lambda\vec{u}).(\mu\vec{v}) = |\lambda| \times |\mu| \times \vec{u}. \vec{v} $$

Distributivité par rapport à l'addition

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} x''\\ y''\\z'' \end{pmatrix}$ trois vecteurs.

On exprime les vecteurs $\vec{u} $, $\vec{v} $ et $\vec{w} $ sous la forme suivante :

$$ \left \{ \begin{align*} \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k} \\ \vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} \\ \vec{w} = x'' \vec{i} + y'' \vec{j} +z'' \vec{k} \end{align*} \right \} $$

Distributivité à droite

Alors le produit scalaire $\vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) $ vaut :

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . ( x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} + x'' \vec{i} + y'' \vec{j} +z'' \vec{k}) $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) . \Bigl( (x' + x'') \vec{i} + (y' + y'') \vec{j} + (z' + z'') \vec{k} \Bigr) $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) \vec{i}.\vec{i} + (x(y' + y'')) \vec{i}.\vec{j} + (x(z' + z'')) \vec{i}.\vec{k} + (y(x' + x'')) \vec{j}.\vec{i} + (y(y' + y'')) \vec{j}.\vec{j} + (y(z' + z'')) \vec{j}.\vec{k} + (z(x' + x'')) \vec{k}.\vec{i} + (z(y' + y'')) \vec{k}.\vec{j} + (z(z' + z'')) \vec{k}.\vec{k} $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) ||\vec{i}||^2 + (y(y' + y'')) ||\vec{j}||^2 + (z(z' + z'')) ||\vec{k}||^2 + (x(y' + y'')) \vec{i}.\vec{j} + (y(x' + x''))+ \vec{j}.\vec{i} + (y(z' + z'')) \vec{j}.\vec{k} + (z(x' + x'')) \vec{k}.\vec{i} + (z(y' + y'')) \vec{k}.\vec{j} + (x(z' + z'')) \vec{i}.\vec{k} \qquad(2) $$

Les trois vecteurs $\vec{i},\vec{j}, \vec{k} $ sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

$$ || \vec{i} ||^2 = || \vec{j} ||^2 = || \vec{k} ||^2 = 1 $$

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormaux, les trois vecteurs $\vec{i},\vec{j}, \vec{k} $ sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul :

$$ \vec{i}.\vec{j} = \vec{i}.\vec{k}= \vec{j}.\vec{k} = 0 $$

Et par commutativité du produit scalaire, on a aussi :

$$ \vec{j}.\vec{i} = \vec{k}.\vec{i}= \vec{k}.\vec{j} = 0 $$

Soit en réécrivant $(2) $,

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) + (y(y' + y'')) + (z(z' + z'')) + \hspace{0.1em} \underbrace{ (x(y' + y'')) \vec{i}.\vec{j} + (y(x' + x''))+ \vec{j}.\vec{i} + (y(z' + z'')) \vec{j}.\vec{k} + (z(x' + x'')) \vec{k}.\vec{i} + (z(y' + y'')) \vec{k}.\vec{j} + (x(z' + z'')) \vec{i}.\vec{k} } _\text{ $= \hspace{0.1em} 0$} $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = (x(x' + x'')) + (y(y' + y'')) + (z(z' + z'')) $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = xx' + xx'' + yy' + yy'' + zz' + zz'' \qquad (3) $$

En réarrangent l'expression $ (3) $ :

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = xx' + yy' + zz' + xx'' + yy'' + zz'' $$

On reconnaît l'écriture de $ \vec{u}.\vec{v} $ et $ \vec{u}.\vec{w} $ sous la forme du Produit des coordonnées :

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = \hspace{0.1em} \underbrace { xx' + yy' + zz' } _\text{ $= \hspace{0.1em} \vec{u}.\vec{v} $} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \underbrace { xx'' + yy'' + zz'' } _\text{ $= \hspace{0.1em} \vec{u}.\vec{w} $} $$

Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$

$$ \vec{u}.( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w} $$

Distributivité à gauche

Et grâce à la commutativité du produit scalaire, on a aussi la distributivité à gauche :

$$ (\vec{u} + \vec{v}) . \vec{w} = \vec{w} . (\vec{u} + \vec{v}) $$

En développant l'expression avec la distributivité à droite, on a :

$$ (\vec{u} + \vec{v}) . \vec{w} = \vec{u}.\vec{w} + \vec{v}.\vec{w} $$

Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$

$$ (\vec{u} + \vec{v}) . \vec{w} = \vec{u}.\vec{w} + \vec{v}.\vec{w} $$

Identités remarquables

On a vu plus haut que le produit scalaire est distributif, c'est la propriété qui va être utilisée dans cette partie.

Calcul de $ (\vec{u} + \vec{v})^2 $

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}).(\vec{u} + \vec{v}) $$

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 =\vec{u}. \vec{u} + \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{v} - \vec{v}. \vec{v} $$

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

Calcul de $ (\vec{u} - \vec{v})^2 $

C'est la même chose avec un signe $(-)$ dans le double produit.

$$ (\vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{v})^2 = (\vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{v}).(\vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{v}) $$

$$ (\vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{v})^2 =\vec{u}. \vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{u}.\vec{v} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{u}.\vec{v} - \vec{v}. \vec{v} $$

$$ (\vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 \textcolor{#8E5B5B}{-} 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

Calcul de $ (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) $

$$ (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}. \vec{u} - \vec{u}. \vec{v} + \vec{v}. \vec{u} - \vec{v}. \vec{v} $$

On a vu que le produit scalaire est commutatif, alors $ \vec{u}. \vec{v} = \vec{v}. \vec{u} $, et :

$$ (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) = || \vec{u} ||^2 \hspace{0.1em} \underbrace{ - \ \vec{u}. \vec{v} + \vec{u}. \vec{v} } _\text{ $= \hspace{0.1em} 0 $} \hspace{0.1em} - || \vec{v} ||^2$$

$$ || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2= (\vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) $$

On obtient exactement les mêmes formules que les identités remarquables classiques.

Expression en fonction des normes

On a vu plus que :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 \qquad (4) \\ (\vec{u} - \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 - 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 \qquad (5) \end{align*} $$

En travaillant avec l'expression $ (4) $, on a :

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 \qquad (4) $$

Mais grâce à la propriété des carrés scalaires, on sait que :

$$ \forall \vec{u}, \ (\vec{u})^2 = || \vec{u} ||^2 $$

Alors l'expression $ (4) $ devient :

$$ || \vec{u} + \vec{v} ||^2 = || \vec{u} ||^2 + 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2$$

$$2 \vec{u}.\vec{v} = || \vec{u} + \vec{v} ||^2 - || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2$$

Et finalement,

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} + \vec{v} ||^2 - || \vec{u} ||^2 - || \vec{v} ||^2 \right ) $$

De la même manière, avec l'expression $ (5) $, on a :

$$ (\vec{u} \textcolor{#8E5B5B}{-} \vec{v})^2 = || \vec{u} ||^2 \textcolor{#8E5B5B}{-} 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = || \vec{u} ||^2 - 2 \vec{u}.\vec{v} + || \vec{v} ||^2 $$

$$ 2 \vec{u}.\vec{v} = || \vec{u} ||^2 + || \vec{v} ||^2 - ||\vec{u} - \vec{v}||^2 $$

$$ \vec{u}.\vec{v} =\frac{1}{2} \left( || \vec{u} ||^2 + || \vec{v} ||^2 - || \vec{u} -\vec{v} ||^2 \right ) $$

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

Exemples

Calculer la distance d'un point à un plan

Soit un plan $(\mathcal{P})$ dans l'espace, passant par un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et orthogonal à un vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}$(avec $a, b, c $ non nuls tous les trois).

Distance d'un point à un plan par le produit scalaire

Il s'agit de déterminer la distance $[HM]$ du point $M(x, y, z)$ au plan $(\mathcal{P})$.

Comme les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{HA}$ sont orthogonaux, on a :

$$ \vec{n} \ . \ \overrightarrow{HA} = 0$$

$$ \vec{n} \ . \ (\overrightarrow{HM} + \ \overrightarrow{MA}) = 0$$

$$ \vec{n} \ . \ \overrightarrow{HM} + \ \vec{n} \ . \ \overrightarrow{MA} = 0$$

$$ || \vec{n} || \times || \overrightarrow{HM} || + \vec{n} \ . \ \overrightarrow{MA} = 0$$

$$ || \overrightarrow{HM} || = \frac{\vec{n} \ . \ \overrightarrow{AM}}{ || \vec{n} ||} $$

$$ HM = \left | \frac{\vec{n} \ . \ \overrightarrow{AM}}{ || \vec{n} ||} \right| $$

Alors, connaissant les coordonnées du point $M$, on peut appliquer la méthode de calcul du produit scalaire par le produit des coordonnées :

$$ HM = \left | \frac{a(x -x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) }{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right| $$

Les propriétés du produit scalaire

Démonstrations

Implication de gauche à droite

Réciproque

Conclusion

Exemples

Calculer la distance d'un point à un plan