Les propriétés des puissances de x

Soient \( n\in \mathbb{N}\) un entier naturel et \( x \in \mathbb{R}\) un réel.

On appelle \(x^n\) un nombre \(x\) multiplié \(n\) fois par lui-même :

Toutes ces formules sont démontrées uniquement pour des exposants naturels \((n \in \mathbb{N})\) et réels purs \( \Bigl(n \in \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr] \Bigr)\).

Mais elles peuvent aussi fonctionner dans les différents ensembles intérmédiaires \(( \mathbb{Z}, \ \mathbb{Q})\), elles nécessitent cependant quelques disjonctions de cas, notamment pour :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} (x^2)^{\frac{1}{2}} = |x|\\ (x^{\frac{1}{2}})^2 = x \end{align*} $$

De manière générale, si \(n\) est pair au dénominateur :

De même, le cas \(0^0\) étant une forme indéterminée, on prendra toujours les ensembles privées de \(0\).

Définition de la puissance \(x^n\) pour les réels purs :

Racine n^ième d'un nombre

Produit/quotient de puissances

Nombre élevé à la puissance zéro

$$ x^0 = 1 $$

Inverse d'une puissance

$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$

Puissance d'un produit/quotient

Puissance d'une puissance

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

Récapitulatif des puissances de x

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Démonstrations

Racine n^ième d'un nombre

Soit \(n \in \mathbb{N}\) un entier naturel.

1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \)

1. Si \(n\) est pair

Le signe sera toujours positif même si \(x \) est négatif, et dans tous ces cas on aura :

$$ x^n = e^{n\ ln(x)} $$

De même, si on prend la racine de cette même base \(n\), définie uniquement pour des nombres positifs, comme :

$$ \sqrt[n]{x^n} = x $$

Avec ce qui précède, on a aussi :

$$ \sqrt[n]{x^n} = \sqrt[n]{e^{n\ ln(x)}} $$

En cherchant quelle est la valeur de cette racine \(n\)-ème sous forme de puissance, on a :

$$ x = \left( e^{n\ ln(x)} \right)^m $$

Or on sait aussi que la puissance d'une exponentielle vaut :

$$ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R} \bigr]^2,$$

$$ (e^a)^b = e^{ab} $$

Soit,

$$ x = e^{mn\ ln(x)} $$

Et nécessairement,

$$ mn = 1 \Longleftrightarrow n = \frac{1}{m} \qquad (m \neq 0)$$



Alors,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ \forall n \in \bigl \{ 2\mathbb{N}^* \bigr \}, $$

$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$




2. Si \(n\) est impair

Alors, comme une fonction racine impaire voit sa réciproque l'être aussi, si \(n\) est impair :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, \ x^n = \left \{ \begin{align*} \sqrt[n]{-x} = \sqrt[n]{x}, \ si \ x > 0 \\ \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}, \ si \ x < 0 \end{align*} \right \} $$

On doit alors envisager deux cas de figures :

• Si \(x \geqslant 0\) :

Le même cas que précédemment se rencontre :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ \forall n \in \bigl \{2\mathbb{N} + 1 \bigr \} , $$

$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$

• Si \(x \leqslant 0\) :

Une fontion impaire étant une bijection de \(\mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} \) et strictement croissante, alors sa réciproque est elle aussi une bijection de \(\mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} \) et de même monotonie.

De même, ces fonctions puissances impaires passant toutes par \(0\), leur fonction réciproque conserve le signe négatif, et dans ce cas :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^-, \ \forall n \in \bigl \{2\mathbb{N} + 1 \bigr \} , $$
$$ \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x} $$

Et par la même méthode que précédemment, on a :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^-, \ \forall n \in \bigl \{2\mathbb{N} + 1 \bigr \} , $$

$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$

2. Pour des exposants dans l'ensemble des nombres réels purs \( : (a,b) \in \hspace{0.05em} \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2 \)

C'est la même démonstration que pour les exposants naturels, donc on a bien ici aussi :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ \forall n \in \mathbb{R}, $$

$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$

3. Conclusion

Que le nombre eniter \(n\) soit pair ou impair, on a bien ;

$$ \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ n \in \bigl \{ 2\mathbb{N}^* \bigr \} \Bigr] \lor \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ n \in \bigl \{2\mathbb{N} + 1 \bigr \} \Bigr] \lor \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ n \in \mathbb{R} \Bigr], $$

$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$




Et par conséquent, on a aussi :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, $$

$$ x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $$

Produit/quotient de puissances

1. Produit

1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \)

Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

Si l'on effectue le produit \(x^a x^b \), on a :

$$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$
$$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a + b)\) facteurs } $$

En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

On obtient finalement,

$$ \forall x \in\hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace \forall ( a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

$$ x^a x^b = x^{a+b} $$




2. Pour des exposants dans l'ensemble des nombres réels purs \( : (a,b) \in \hspace{0.05em} \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2 \)

En reprenant notre expression \((1)\) définie plus tôt, on a :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+, \ x^n = e^{n\ ln(x)} \qquad (1) $$

On obtient alors pour le produit :

$$ x^a \ x^b = e^{a\ ln(x)} \times e^{b\ ln(x)} \qquad (2) $$

On sait que le produit de deux exponentielles vaut :

$$ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R} \bigr]^2,$$

$$ e^a \ e^b = e^{a+b}$$

Alors,

$$ x^a \ x^b = e^{a\ ln(x) + b\ ln(x)} $$
$$ x^a \ x^b = e^{(a+b)\ ln(x)} $$


$$ \forall x \in \mathbb{R^+}, \ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2,$$

$$ x^a \ x^b = x^{a+b} $$




3. Conclusion

On a montré que la formule fonctionnait pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( (\mathbb{N}) \), mais aussi dans celui des nombres réels purs \( (\bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]) \).




Soit dans les deux cas,

$$ \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, \ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \bigl[ \mathbb{N}^* \bigr]^2 \Bigr] \lor \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+ , \ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R}^* \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2 \Bigr], $$

$$ x^a \ x^b = x^{a+b} $$




2. Quotient

La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'appliquent aussi pour les quotients, à la condition supplémentaire que \((x \neq 0) \) :

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^a \times \frac{1}{x^b} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^a \times x^{-b} $$
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a+(-b)} $$

Alors, de même pour les quotients,

$$ \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, \ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \bigl[ \mathbb{N}^* \bigr]^2 \Bigr] \lor \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+ , \ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R}^* \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2 \Bigr], $$

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Nombre élevé à la puissance zéro

Soient \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un nombre réel non nul et \( a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un nombre réel.

Avec la formule de multiplication des puissances :

En divisant chaque membre par \(x^a\), en ajoutant la condition que \(x \neq 0\) :

Et finalement,

$$ x^0 = 1 $$

Inverse d'une puissance

Soit \( x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \(a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}\) un nombre réel.

Cherchons quelle serait la puissance de l'inverse, on sait que :

Mais \(x^0 = 1\), donc :

Par conséquent, avec la formule de multiplication des puissances, on a :

Alors par identification des formules \((3)\) et \((4)\), on obtient comme résultat que :

$$ \frac{1}{x^a} = x^{-a}$$

Puissance d'un produit/quotient

1. Produit

1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : a \in \mathbb{N} \)

Soient \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \bigl[ \mathbb{R} \bigr]^2 \) deux réels et \( a\in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \) un entier naturel.

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Le produit de nombres étant commutatif, on a :

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$



En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

On a à présent,

$$ (xy)^a = x^a \times y^a $$



Soit finalement,

$$ \forall (x,y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall a \in \mathbb{N}, $$

$$ x^a y ^a = (xy)^a $$





2. Pour des exposants dans l'ensemble des nombres réels purs \( : a \in \hspace{0.05em} \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr] \)

En reprenant notre expression \((1)\) définie plus tôt :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+, \ x^n = e^{n\ ln(x)} \qquad (1) $$

Comme les exposant sont des réels purs, les nombres \(x,y\) sont toujours positifs, alors :

$$ \forall (x,y) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, $$
$$ (xy)^a = e^{n\ ln(xy)} $$

Or on sait aussi que le logarithme d'un produit vaut :

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln(ab) = ln(a)+ ln(b) $$
$$ (xy)^a = e^{a\ \bigl(ln(x) + ln(y) \bigr)} $$

De plus, on sait que le produit de deux exponentielles vaut :

$$ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2,$$

$$ e^a \ e^b = e^{a+b}$$

Soit ici :

$$ e^{a+b} = e^a \ e^b $$

Ce qui nous mène à :

$$ (xy)^n = e^{a \ ln(x)} e^{a \ ln(y)} $$

En revenant à la définition précédente \((1)\), on obtient que :

$$\forall (x, y) \in \bigl[ \mathbb{R}_+^* \bigr]^2, \ \forall a \in \mathbb{R},$$

$$ x^a y^a = (xy)^a $$




3. Conclusion

On a montré que la formule fonctionnait pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( (\mathbb{N}) \), mais aussi dans celui des nombres réels purs \( (\bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]) \).




Soit dans les deux cas,

$$ \Bigl[ \forall (x, y) \in \bigl[ \mathbb{R}^* \bigr]^2, \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \Bigr] \lor \Bigl[ \forall (x, y) \in \bigl[ \mathbb{R}_+^* \bigr]^2, \ \forall a \in \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr] \Bigr], $$

$$ x^a y^a = (xy)^a $$

2. Quotient

La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'appliquent aussi pour les quotients :

$$ \frac{x^a}{y^a} = x^a \times \left(\frac{1}{y}\right)^a $$

Alors, de même pour les quotients,

$$ \Bigl[ \forall (x, y) \in \bigl[ \mathbb{R}^* \bigr]^2, \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{N} \Bigr] \lor \Bigl[ \forall (x, y) \in \bigl[ \mathbb{R}_+^* \bigr]^2, \ \forall a \in \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr] \Bigr], $$

$$ \frac{x^a}{y^a} = \left(\frac{x}{y}\right)^a $$

Puissance d'une puissance

1. Pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( : (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \)

Soient \( x\in \hspace{0.05em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

Si l'on effectue le calcul \( (x^a)^b \), on a :

$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a \times x^a \times x^a ... } _\text{ \(b\) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$



En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

$$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$



Alors on trouve que,

$$ (x^a)^b = x^{ab} $$

En appliquant ce même raisonnement mais inversant \(a\) et \(b\), on trouve aussi:

$$ (x^b)^a = x^{ab} $$



Alors,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$





2. Pour des exposants dans l'ensemble des nombres réels purs \( : (a,b) \in \hspace{0.05em} \in \hspace{0.05em} \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2 \)

En reprenant notre expression \((1)\) définie plus tôt :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+, \ x^n = e^{n\ ln(x)} \qquad (1) $$

Comme les exposant sont des réels purs, les nombres \(x,y\) sont toujours positifs, alors :

$$ \forall (x,y) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, $$
$$ (x^a)^b = \left( e^{a\ ln(x)} \right)^b $$

Or on sait aussi que la puissance d'une exponentielle vaut :

$$ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2,$$

$$ (e^a)^b = e^{ab} $$

Alors mécaniquement,

$$ (x^a)^b = e^{ab\ ln(x)} $$

En réintérant le raisonnement en inversant \(a\) et \(b\), on a aussi :

$$ (x^b)^a = e^{ab\ ln(x)} $$



Et finalement, en revenant à la définition \((1)\) précédemment introduite, on obtient :

$$\forall (x, y) \in \bigl[ \mathbb{R}_+^* \bigr]^2, \ \forall a \in \mathbb{R},$$

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab}$$

3. Conclusion

On a montré que la formule fonctionnait pour des exposants dans l'ensemble des entiers naturels \( (\mathbb{N}) \), mais aussi dans celui des nombres réels purs \( (\bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]) \).




Soit dans les deux cas,

$$ \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, \ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \bigl[ \mathbb{N}^* \bigr]^2 \Bigr] \lor \Bigl[ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+ , \ \forall (a, b) \in \bigl[ \mathbb{R}^* \hspace{0.2em} \backslash \mathbb{Q} \bigr]^2 \Bigr], $$

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

Récapitulatif des puissances de x