Les propriétés des nombres complexes

Les modules \( : |z|\)

On note \( |z| \) le module d'un nombre complexe \( z \).

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ |z| = \sqrt{x^2 + y^2 } \end{gather*} \)

Modules de l'opposé et du conjugué

$$ | z | = | - z | = |\overline{z}| $$

Module du produit

$$ | z z' | = | z| \hspace{0.2em}. |z' |$$

In the same way,

$$ \left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{| \ z \ |}{ |z' |} $$

Module d'un complexe élevé à une puissance entière

$$ | z^n | = | z |^n $$

Les arguments \( : arg(z) \)

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \)

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \end{gather*} $$

On note \( arg(z) \) l'argument d'un complexe \( z \).

Arguments des conjugué et opposé

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} arg(\overline{z}) = -arg(z) \\ arg( -z) = \pi + arg(z) \end{gather*} $$

Argument du produit

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$

Argument de l'inverse

$$ arg\left(\frac{1}{z}\right) = -arg(z) $$

Argument du quotient

$$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$

Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

$$ arg(z^n) = n . arg(z) $$

Les conjugués \( : \overline{z}\)

On note \( \overline{z} \) le conjugué d'un nombre complexe \( z \).

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ \overline{z} = x -iy \end{gather*} \)

Conjugué de la somme

$$ \overline{z_1 + z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$

De la même manière,

$$ \overline{z_1 \textcolor{#8E5B5B}{-} z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} \textcolor{#8E5B5B}{-} \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$

Conjugué d'un produit

$$ \overline{z_1 . z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em}. \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$

Conjugué d'un quotient

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$

Complexe multiplié par son conjugué

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 + y^2 $$

Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} (\overline{z})^n $$

Récapitulatif des formules des propriétés des nombres complexes

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Démonstrations

Les modules \( : |z|\)

Modules de l'opposé et du conjugué

Écrivons les complexes \( |-z|\) et \( | \overline{z} | \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |-z| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 } = |z| \\ | \overline{z} | = \sqrt{x' + (-y)^2 } = \sqrt{x^2 + y^2 }= |z| \end{gather*} $$

Soit finalement,

$$ | z | = | - z | = |\overline{z}| $$

Module du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ z' = x' + iy' \end{gather*} $$

On calcule dans un premier temps \( z z' \) :

Ensuite, on calcule \( | z z' | \) :

Enfin, on calcule \( | z| \hspace{0.2em}. |z' | \) :

On remarque que les expressions \( (1) \) et \( (2) \) sont équivalentes, alors :

$$ | z z' | = | z| \hspace{0.2em}. |z' |$$

De la même manière, on aura :

$$ \left| \frac{z}{z'} \right| = \frac{| \ z \ |}{ |z' |} $$

Module d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \(z\) sous leur forme algébrique.

Calculons \(z^n\) :

Alors,

Or,

On a bien,

$$ | z^n | = | z |^n $$

Les arguments \( : arg(z) \)

Arguments des conjugué et opposé

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

1. Pour le conjugué \(\overline{z}\)

Écrivons le complexe \( \overline{z} \) sous sa forme trigonométrique.

$$\overline{z} = |z|.\left( cos(\theta) - isin(\theta) \right) $$

Mais,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} cos(\theta) = cos(-\theta) \\ -sin(\theta) = sin(-\theta) \end{gather*} $$

Soit,

$$\overline{z} = |z|.\left( cos(-\theta) + isin(-\theta) \right) $$

D'où,

$$ arg(\overline{z}) = -arg(z) $$

2. Pour l'opposé \( -z \)

$$-z = -|z|.\left( cos(\theta) + isin(\theta) \right) $$
$$-z = |z|.\left( -cos(\theta) - isin(\theta) \right) $$

Mais,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} -cos(\theta) = cos(\pi + \theta) \\ -sin(\theta) = sin(\pi + \theta) \end{gather*} $$

Soit,

$$ -z = |z|.\left( cos(\pi + \theta) + isin(\pi + \theta) \right) $$

D'où,

$$ arg(-z) = \pi +arg(z) $$

Soit finalement,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} arg(\overline{z}) = -arg(z) \\ arg( -z) = \pi + arg(z) \end{gather*} $$

Argument du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme trigonométrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \\ z' = |z'|.\left(cos(\theta') + isin(\theta') \right) \end{gather*} $$

On calcule \( z z' \) :

Soit,

Soit que,

Soit finalement,

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$

Argument de l'inverse

Soit \(z \in \hspace{0.05em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.

Partons de l'équation suivante :

Alors,

Soit que,

Soit finalement,

$$ arg\left(\frac{1}{z}\right) = -arg(z) $$

Argument du quotient

Soit \(z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe et \(z' \in \hspace{0.05em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.

Écrivons le quotient \(\frac{z}{z'}\) sous forme de produit :

Soit que,

Alors,

Soit finalement,

$$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$

Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

1. Calcul du carré \( : z^2 \)

$$ z^2 = \Bigl[ |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) \Bigr]^2 $$

Grâce aux propriétes du module élevé à une puissance entière \( | z^n | \), on sait que :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ |z^n| = |z|^n $$

Soit,

$$ z^2 = |z|^2.\left(cos(\theta) + i.sin(\theta) \right)^2$$
$$ z^2 = |z|^2.\left(cos^2(\theta) + 2i.sin(\theta)cos(\theta) - sin^2(\theta) \right)$$
$$ z^2 = |z|^2.\left(cos^2(\theta) - sin^2(\theta) + 2i.sin(\theta)cos(\theta) \right)$$

Grâce aux formules de duplications trigonométriques, on sait que :

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} sin(2\alpha) = 2 sin(\alpha) cos(\alpha) \\ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) \end{gather*} $$

Alors, on reconnaît que :

$$ z^2 = |z|^2.\left(cos(2\theta) + i. sin(2\theta) \right)$$

Soit que,

$$ arg(z^2) = 2 . arg(z) $$



2. Preuve par récurrence

Tentons de prouver par récurrence que :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z},$$

$$ arg(z^n) = n . arg(z) \qquad (P_n) $$

1. Calcul du premier terme

$$ z = |z|.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right) $$
$$ z^0 = |z|^0.\left(cos(0 \times \theta) + isin( 0 \times \theta) \right) $$
$$ 1 = 1 \times ( 1 + 0) $$

Alors, \((P_0)\) est vraie.




2. Vérification de l'hérédité

1. Avec un exposant \( n \) l'ensemble des entiers naturels \( (n \in \mathbb{N}) \)

Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.

On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).

Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

$$ arg(z^{k+1}) = (k+1) . arg(z) \qquad (P_{k + 1}) $$



On calcule alors \(z^{k+1}\) :

$$ z^{k+1} = |z|^{k+1}.\left(cos(\theta) + isin(\theta) \right)^{n+1} $$

Or, on sait que le l'argument d'un produit est la somme des facteurs de ce produit :

$$ \forall z, z' \in \hspace{0.05em} \mathbb{C}^2, $$

$$ arg( z z') = arg(z) + arg(z') $$

Soit ici que,

$$ arg(z^{k+1}) = arg( z . z^k) = arg(z) + arg(z^k) $$
$$ arg(z^{k+1}) = arg(z) + arg(z) + arg(z^{k-1}) $$

Et ainsi de suite jusque :

$$ arg\left(z^{k+1}\right) = (k+1).arg(z) $$

Par conséquent, \((P_{k + 1})\) est vraie dans l'ensemble \( \mathbb{N}\) des entiers naturels.

Montrons maintenant cette hérédité est aussi en sens inverse.



2. Avec un exposant \( n \) l'ensemble des entiers relatifs \( (n \in \mathbb{Z}) \)

Soit \( k \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k - 1})\).

Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

$$ arg(z^{k-1}) = (k-1) . arg(z) \qquad (P_{k - 1}) $$



On effectue maintenant le calcul de \(z^{k-1}\) :

$$ z^{k-1} = \frac{z^k}{z} $$

Or, on sait que l'argument d'un quotient de deux complexes équivaut à la différence des arguments de ces deux complexes :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*},$$

$$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) -arg(z') $$

Soit ici que,

$$ arg(z^{k-1}) = arg\left( \frac{z^k}{z} \right) = arg(z^k) - arg(z) $$
$$ arg(z^{k-1}) = k.arg(z) - arg(z) $$
$$ arg(z^{k-1}) = (k-1).arg(z) $$

Alors, \((P_{k - 1})\) est vraie pour l'ensemble \( \mathbb{Z}\) des entiers relatifs.




3. Conclusion

La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), de manière croissante et décroissante.

Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).

Soit finalement,

$$ arg(z^n) = n . arg(z) $$

Les conjugués \( : \overline{z}\)

Conjugué de la somme

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z_1 = x_1 + iy_1 \\ z_2 = x_2 + iy_2 \end{gather*} $$

En effecutant leur somme, on a:

Maintenant, en appliquant le conjugué :

Et finalement,

$$ \overline{z_1 + z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$

De la même manière,

$$ \overline{z_1 \textcolor{#8E5B5B}{-} z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em} \textcolor{#8E5B5B}{-} \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$

Conjugué d'un produit

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z_1 = x_1 + iy_1 \\ z_2 = x_2 + iy_2 \end{gather*} $$

En effecutant leur produit, on a:

Maintenant, en appliquant le conjugué :

Calculons à présent le produit \( \overline{z_1}. \overline{z_2} \) séparément :

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (3) \) et \( (4) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

$$ \overline{z_1 . z_2} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \overline{z_1} \hspace{0.2em}. \hspace{0.2em} \overline{z_2} $$

De la même manière,

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$

Conjugué d'un quotient

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z= x + iy \\ \overset{-}{z} = x - iy \end{gather*} $$

En effecutant leur quotient, on a :

On multiplie maintenant les numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

Soit dans notre cas,

On développe le numérateur,

À présent, en appliquant le conjugué, on a :

Calculons maintenant le quotient \( \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} \) séparément :

De la même manière que précédemment,

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (5) \) et \( (5) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

$$ \overline{ \left( z_1 \over z_2 \right)} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} $$

Complexe multiplié par son conjugué

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z= x + iy \\ \overset{-}{z} = x - iy \end{gather*} $$

Calculons leur produit :

Soit dans notre cas,

Et finalement,

$$ z \hspace{0.2em} . \overset{-}{z} = x^2 + y^2 $$

Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

Calculons maintenant \( z^n \) :

Alors, on peut écrire que :

Appliquons-lui maintenant son conjugué :

Calculons maintenant de manière séparée \( (\overline{z})^n \) en repartant de \( \overline{z} \).

À nouveau avec la formule de Moivre, on peut écrire que :

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (7) \) et \( (8) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

$$ \overline{z^n} \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} (\overline{z})^n $$

Récapitulatif des formules des propriétés des nombres complexes