Les propriétés des fractions
Soit \((a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2 \) deux nombres réels non nuls.
Produit en croix
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
Rapport entre les sommes des numérateurs et dénominateurs respectifs
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d} $$
Les mêmes relations sont possibles en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \).
Rapport entre les sommes et les différences respectives
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$
Addition des numérateurs et dénominateurs entre eux
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$
La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \).
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$$
-
Généralisation
De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :
$$ \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^m, \enspace \ \Bigl \{ (b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#446e4f}{\pm} f \textcolor{#8E5B5B}{\pm} ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ = \frac{a \textcolor{#606B9E}{\pm} c \textcolor{#446e4f}{\pm} e \textcolor{#8E5B5B}{\pm} \ ...}{b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#446e4f}{\pm} f \textcolor{#8E5B5B}{\pm} \ ...}$$
Tableau récapitulatif des propriétés des fractions
Démonstrations
Soit \((a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2 \) deux nombres réles non nuls.
Et soit l'hypothèse \((H)\) suivante :
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
On multiplie les deux membres par le même nombre \( bd \) :
$$ \frac{abd}{b} = \frac{cbd}{d} $$
$$ ad = cb $$
Soit finalement,
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
Avec le résultat du produit en croix, on a :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On ajoute le terme \( ac \) de part et d'autre de l'équation :
$$ ad + ac = bc + ac $$
On factorise.
$$ a(d+c) = (a+b)c $$
$$ \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} \qquad(1) $$
Et de même, en appliquant les inverses de chaque membre de \((1)\) :
$$ \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \qquad(2) $$
À présent, les expressions \((1)\) et \((2)\) doivent supporter la condition d'existence supplémentaire suivante :
$$\Bigl \{ a, c, (a+b),(c+d) \Bigl \} \ \neq 0 $$
Soit finalement,
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} $$
Par suite, en reproduisant le même processus en ajoutant respectivement le terme \( bd \), on obtient le résultat suivant :
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d} $$
Il est possible de trouver les mêmes expressions en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \), non pas en ajoutant les termes mais en les retirant.
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a\textcolor{#8E5B5B}{-}b),(c\textcolor{#8E5B5B}{-}d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a \textcolor{#8E5B5B}{-} b}{a} = \frac{c\textcolor{#8E5B5B}{-}d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a \textcolor{#8E5B5B}{-} b} = \frac{c}{c \textcolor{#8E5B5B}{-} d} $$
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a\textcolor{#8E5B5B}{-}b),(c\textcolor{#8E5B5B}{-}d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a\textcolor{#8E5B5B}{-}b}{b} = \frac{c\textcolor{#8E5B5B}{-}d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a \textcolor{#8E5B5B}{-} b} = \frac{d}{c \textcolor{#8E5B5B}{-} d} $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
Avec le résultat du produit en croix :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On ajoute le termes \( ac \) et \( (-bd) \) de part et d'autre de l'équation :
$$ ad + ac - bd = bc + ac -bd $$
Ensuite, comme par hypothèse \( ad = bc \), on peut ajouter \( (-bc) \) un d'un côté et ajouter \( (-ad) \) de l'autre.
$$ ad + ac - bd - bc = bc + ac -bd - ad $$
On factorise par \( a\) et par \( b\) :
$$ a(c+d) - b(c+d) = a(c-d) + b(c-d) $$
$$ (a-b)(c+d) = (a+b)(c-d) $$
$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \qquad(3) $$
Mais l'expression \((3)\) doit supporter la condition d'existence supplémentaire suivante :
$$\Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigl \} \ \neq 0 $$
De même générale, selon le facteur qui se retrouve au dénominateur, il va falloir lui ajouter la condition d'existence de ne pas s'annuler.
Soit finalement,
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2,, \Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
Avec le résultat du produit en croix :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On a ajoute \( cd \) à chaque membre de l'équation :
$$ ad + cd = bc + cd $$
$$ d(a + c) = c(b + d) $$
$$ \frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d} $$
Soit finalement :
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$
La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \), non pas en ajoutant le terme \( cd \) mais en le retirant.
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$$
-
Généralisation
De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :
$$ \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^m, \enspace \ \Bigl \{ (b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#446e4f}{\pm} f \textcolor{#8E5B5B}{\pm} ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ = \frac{a \textcolor{#606B9E}{\pm} c \textcolor{#446e4f}{\pm} e \textcolor{#8E5B5B}{\pm} \ ...}{b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#446e4f}{\pm} f \textcolor{#8E5B5B}{\pm} \ ...}$$
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