Étant donné que chaque primitive d'une fonction donnée est égale à une constante près, on utilisera la notation \({\displaystyle \int^x} f(t) \ dt \), signifiant cette famille de primitives (ou primitive générale).
On utilisera par fois lettre majuscule d'une fonction pour signifier sa primitive.
Rappel sur les primitives usuelles
Un certain nombre de primitives peuvent être directement calculées en prenant le chemin inverse de la dérivée ou par une intégration par parties.
Pour d'autres, il faut considérer chaque cas comme spécifique.
Méthodes générales d'intégration
$$ \int_{a}^b (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - \int_{a}^b (fg') \hspace{0.2em}dt $$
Soit \(\phi : t \longmapsto \phi(t) \) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \( J \subset f(I) \).
L'intégration par substitution constitue la transposition de la dérivation de fonctions composées, appliquée au calcul intégral.
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u = \phi(t) \\ du = \phi '(t) \hspace{0.2em} dt \end{align*} $$
Récapitulatif des méthodes d'intégration générales
Ce tableau récapitule les primitives directement déterminées à partir de l'opération inverse de la dérivée, à savoir :
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$$ \underline{condition} $$
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$$ \underline{primitive \ g\textit{é}n\textit{é}rale} $$
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$$ \underline{fonctions \ usuelles} $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x dt = x$$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x t \ dt = \frac{x^2}{2}$$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+,$$
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$$ \int^x \sqrt{t} \ dt = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+,$$
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$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t}} \ dt = 2\sqrt{x} $$
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$$ lorsque \ x \ est \ d\textit{é}fini $$
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$$ \int^x t^n \ dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$
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$$\forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*},$$
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$$ \int^x n^t \ dt = \frac{ n^x}{ln(n)} $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x e^t \ dt = e^x$$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
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$$ \int^x\frac{dt}{t} = ln|x| $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$
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$$ \int^x log_n|t| \ dt = ln(n) \times log_n|x| $$
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\(\Longrightarrow \ \)toutes les formules de dérivées de fonctions usuelles |
$$ $$
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$$ \underline{fonctions \ trigonom\textit{é}triques} $$
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$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], $$
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$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt = arcsin(x) = - arccos(x) $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \ dt = arcsinh(x) $$
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$$ \forall x \in [1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$
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$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}} \ dt = arccosh(x) $$
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$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \Bigl\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr\} \biggr] $$
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$$ \int^x \Bigl[ 1 + tan^2(t) \Bigr] \ dt = \int^x sec^2(t) \ dt = tan(x) $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x \frac{1}{1 + t^2} \ dt = arctan(x) $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x sech^2(t) \ dt = tanh(x) $$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$
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$$ \int^x \frac{1}{1 - t^2} \ dt = arctanh(x) $$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$
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$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ t^2}}} \Biggl] \ dt = -arccosec(x) $$
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$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.1em} \backslash \left \{ 0 \right \} \Bigr] , $$
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$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ t^2}}} \Biggl] \ dt = -arccosech(x) $$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$
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$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ t^2}}} \Biggl] \ dt = arcsec(x) $$
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$$ \forall x \in \hspace{0.1em} ]0, \hspace{0.1em} 1], $$
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$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{\frac{1}{ t^2}- 1}} \Biggl] \ dt = -arcsech(x) $$
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$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{ k\pi \bigr\} \Bigr], $$
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$$ \int^x cosec^2(t) \ dt = -cotan(x) $$
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$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
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$$ \int^x \frac{1}{1+t^2} \ dt = -arccotan(x) $$
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$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
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$$ \int^x \Bigl[ 1 - cotan^2(t) \Bigr] \ dt = \int^x \Bigl[ -cosech^2(t) \Bigr] \ dt = cotanh(x) $$
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$$ \forall \in \hspace{0.05em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[ \hspace{0.1em} \cup \hspace{0.1em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[ , $$
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$$ \int^x \frac{1}{1 - t^2} \ dt = arcccotanh(x) $$
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\(\Longrightarrow \ \)toutes les formules de dérivées de fonctions trigonométriques |
$$ $$
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\(\Longrightarrow \ \)toutes les formules de primitives de fonctions trigonométriques |
$$ $$
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$$ \underline{op\textit{é}rations \ sur \ les \ fonctions} $$
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$$ \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathcal{D}_f, $$
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$$ \int^x f(at) \ dt = \frac{1}{a} F(ax) $$
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$$ \forall (\lambda, \mu)) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \forall \bigl(u(x), v(x)\bigr) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$
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$$ \int^x \biggl[ \lambda u(t) + \mu v(t) \biggr] \ dt = \lambda U(x) + \mu V(x) $$
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$$ \forall u(x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
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$$ \int^x \frac{u'(t)}{u(t)} \ dt = ln\bigl|u(x)\bigr| $$
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$$ \forall u(x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
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$$ \int^x \frac{u'(t)}{u^2(t)} \ dt = - \frac{1}{u(x)} $$
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$$ \forall u(x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$
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$$ \int^x \frac{u'(t)}{ 2\sqrt{u(t)}} \ dt = \sqrt{u(x)} $$
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\(\Longrightarrow \ \)toutes les formules de dérivées d'opérations sur les fonctions |
$$ $$
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Avec la dérivée d'un produit, on a :
Par suite, grâce à la propriété de linéarité de l'intégrale,
Et,
Soit finalement,
$$ \int_{a}^b (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - \int_{a}^b (fg') \hspace{0.2em}dt $$
Soit \(f : x \longmapsto f(x)\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \(I = [a,b]\).
De même, soit \(\phi : t \longmapsto \phi(t) \) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \( J \subset f(I)\).
Considérant l'intégrale \( I(x) \) suivante :
En effectuant la substitution \( x = \phi(t) \) dans \( (I(x)) \), on a :
$$ x = \phi(t) \Longrightarrow \Biggl \{ \begin{align*} x \ \longrightarrow \ \phi(t) \\ dx \ \longrightarrow \ d \Bigl[ \phi(t)\Bigr] = \phi'(t) \ dt \end{align*} $$
Maintenant, considérant \( \psi : x \longmapsto \psi(x) \), la fonction réciproque de \( \phi\), on a l'équivalence :
Alors, lorsque \(x\) varie de \( a \) vers \(b\), \(t\) varie de \( \psi(a) \) vers \(\psi(b)\).
Soit,
Les deux fonctions \(\phi\) et \(\psi\) étant deux fonctions réciproques, elles s'annihilent entres elles.
Les deux expressions \( (I(x)) \) et \( (I(t)) \) sont alors égales.
Enfin, en effectuant de chaque côté l'image des bornes respectives par la fonction \( \phi \), alors \( (1)\) devient \( (1')\) :
Et,
Par simplicité, on prendra \(u \) comme variable, et finalement,
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u = \phi(t) \\ du = \phi '(t) \hspace{0.2em} dt \end{align*} $$
Attention à ne pas confondre le changement de variable direct :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u = \phi(t) \\ du = \phi '(t) \hspace{0.2em} dt \end{align*} $$
avec un changement de variable indirect :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} t = \psi(u) \\ dt = \psi '(u) \hspace{0.2em} du \end{align*} $$
On prend \(f\) et \(g'\) tels que :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f(t) = t \\ g'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f'(t) = \frac{dt}{t} \\ g(t) = t.dt \end{align*} $$
On prend \(f\) et \(g'\) tels que :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f(t) = ln(t) \\ g'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f'(t) = \frac{dt}{t} \\ g(t) = t \end{align*} $$
Notamment lors de la résolution d'équations différentielles, on peut être amener à déterminer des primitives de type :
Par exemple, avec une fonction \(f(t)\) de type polynôme, on intègre plusieurs fois de suite jusqu'à ce que le degré descende et atteigne \(0\).
On choisit d'intégrer l'exponentielle pour que la fonction polynomiale soit celle qui soit dérivée et perde en degré au fur et à mesure des intégrations.
Intégrons cette fonction polynôme-exponentielle :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f(t) = 4t^3 - t +4 \\ g'(t) = e^{2t} \hspace{0.2em}dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f'(t) = (12t^2 -1) \hspace{0.2em}dt \\ g(t) = \frac{e^{2t}}{2} \end{align*} $$
On en profite pour sortir la constante.
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f(t) = t^2 \\ g'(t) = e^{2t} \hspace{0.2em}dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f'(t) = 2t \hspace{0.2em}dt \\ g(t) = \frac{e^{2t}}{2} \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f(t) = t \\ g'(t) = e^{2t} \hspace{0.2em}dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f'(t) = dt \\ g(t) = \frac{e^{2t}}{2} \end{align*} $$
Enfin, on factorise tout.
Dans le cas d'un polynôme trigonométrique, on peut appliquer les règles de Bioche.
Ici, l'intégrande \( \omega(t) \) est invariante par le changement de variable \( t = -t \) :
On peut alors poser :
À partir de là, on a :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u = cos(t) \\ du = -sin(t) \ dt \end{align*} $$
On remplace alors dans ce qui était notre expression, sans oublier les bornes :
Grâce aux aux propriétés de l'intégrale, on sait que :
La primitive de la fonction arctangente est connue:
This, in our case,
And,
L'idée ici est de poser \( u = t^3 \) pour avoir \( t^2 \ dt\) à une constante près au numérateur après substitution.
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u = t^3 \\ du = 3t^2 \ dt \end{align*} $$
On remplace tout (les bornes ne changent pas car \( 0\) et \( 1 \) ne varient pas lorsqu'on les met au cube):
L'intégrande est uniquement définie sur \( \mathbb{R} \ \backslash \{0 \}\).
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u = e^t \\ du = e^t \ dt \end{align*} $$
Ici, on peut uiliser une petite astuce qui permet d'obtenir notre intégrale sous une autre forme :
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