Les fonctions trigonométriques de base : \(sin(x), cos(x), tan(x)\)
La fonction sinus \( : {\displaystyle \int^x} sin(t) \ dt \)
La fonction \( sin(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x sin(t) \ dt = -cos(x)$$
La fonction cosinus \( : {\displaystyle \int^x} cos(t) \ dt \)
La fonction \( cos(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x cos(t) \ dt = sin(x)$$
La fonction tangente \( : {\displaystyle \int^x} tan(t) \ dt \)
La fonction \( tan(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x tan(t) \ dt = - ln|cos(x)| = ln|sec(x)|$$
Les fonctions trigonométriques de base réciproques : \(arcsin(x)\), \(arccos(x)\), \( arctan(x)\)
La fonction arcsinus \( : {\displaystyle \int^x} arcsin(t) \ dt \)
La fonction \( arcsin(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sin(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x arcsin(t) \ dt = x \ arcsin(x) + \sqrt{1-x^2}$$
La fonction arccosinus \( : {\displaystyle \int^x} arccos(t) \ dt \)
La fonction \( arccos(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cos(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x arccos(t) \ dt = x \ arccos(x) - \sqrt{1-x^2}$$
La fonction arctangente \( : {\displaystyle \int^x} arctan(t) \ dt \)
La fonction \( arctan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arctan(t) \ dt = x \ arctan(x) - \frac{1}{2} ln\left(1+x^2 \right)$$
Les fonctions trigonométriques sécantes : \(cosec(x), sec(x), cotan(x)\)
La fonction cosécante \( : {\displaystyle \int^x} cosec(t) \ dt \)
La fonction \( cosec(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x cosec(t) \ dt = ln \left|cosec(x) -cotan(x) \right|$$
La fonction sécante \( : {\displaystyle \int^x} sec(t) \ dt \)
La fonction \( sec(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x sec(t) \ dt = ln \left|sec(x) + tan(x) \right|$$
La fonction cotangente \( : {\displaystyle \int^x} cotan(t) \ dt \)
La fonction \( cotan(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x cotan(t) \ dt = - ln|sin(x)| = ln|cosec(x)|$$
La fonction arccosécante \( : {\displaystyle \int^x} arccosec(t) \ dt \)
La fonction \( arccosec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arccosec(t) \ dt = x \ arccosec(x) + ln \left|\sqrt{x^2-1} + |x| \right|$$
La fonction arcsécante \( : {\displaystyle \int^x} arcsec(t) \ dt \)
La fonction \( arcsec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arcsec(t) \ dt = x \ arcsec(x) - ln \left|\sqrt{x^2-1} + |x| \right| $$
La fonction arccotangente \( : {\displaystyle \int^x} arccotan(t) \ dt \)
La fonction \( arccotan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arccotan(t) \ dt = x \ arccotan(x) + \frac{1}{2} ln\left(1+x^2 \right) $$
Les fonctions hyperboliques : \(sinh(x), cosh(x), tanh(x)\)
La fonction sinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} sinh(t) \ dt \)
La fonction \( sinh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x sinh(t) \ dt = cosh(x)$$
La fonction cosinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} cosh(t) \ dt \)
La fonction \( cosh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x cosh(t) \ dt = sinh(x)$$
La fonction tangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} tanh(t) \ dt \)
La fonction \( tanh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x tanh(t) \ dt = ln|cosh(x)| = -ln|sech(x)|$$
Les fonctions hyperboliques réciproques : \( arcsinh(x)\), \(arccosh(x)\), \( arctanh(x)\)
La fonction arcsinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} arcsinh(t) \ dt \)
La fonction \( arcsinh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sinh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arcsinh(x) = ln \left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x arcsinh(t) \ dt = x \ arcsinh(x) - \sqrt{1+x^2}$$
La fonction arccosinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} arccosh(t) \ dt \)
La fonction \( arccosh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arccosh(x) = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - 1}\Bigr| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x arccosh(t) \ dt = x \ arccosh(x) - \sqrt{x^2-1}$$
La fonction arctangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} arctanh(t) \ dt \)
La fonction \( arctanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x arctanh(t) \ dt = x \ arctanh(x) + ln|1 - x^2|$$
Les fonctions sécantes hyperboliques : \(cosech(x), sech(x), cotanh(x)\)
La fonction cosécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} cosech(t) \ dt \)
La fonction \( cosech(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x cosech(t) \ dt = ln \left|cosech(x) -cotanh(x) \right|$$
La fonction sécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} sech(t) \ dt \)
La fonction \( sech(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x sech(t) \ dt = arctan(sinh(x)) $$
La fonction cotangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} cotanh(t) \ dt \)
La fonction \( cotanh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$ \int^x cotanh(t) \ dt = ln|sinh(x)| = -ln|cosech(x)|$$
La fonction arccosécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} arccosech(t) \ dt \)
La fonction \( arccosech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arccosech(t) \ dt = x \ arccosech(x) + ln \left|\sqrt{x^2+1} + |x| \right|$$
La fonction arcsécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} arcsech(t) \ dt \)
La fonction \( arcsech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arcsech(t) \ dt = x \ arcsec(x) + arcsin(x) $$
La fonction arccotangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} arccotanh(t) \ dt \)
La fonction \( arccotanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour primitive :
$$\int^x arccotanh(t) \ dt = x \ arccotanh(x) + ln \left|1-x^2 \right| $$
Récapitulatif des primitives de fonctions trigonométriques
La fonction \( sin(x) \) est définie de la manière suivante :
Comme on sait par les dérivées des fonctions trigonométriques que :
Alors en prenant simplement la primitive de chaque côté,
$$ \int^x sin(t) \ dt = -cos(x)$$
La fonction \( cos(x) \) est définie de la manière suivante :
De la même manière que plus haut pour la fonction \(sin(x)\), on obtient directement :
$$ \int^x cos(t) \ dt = sin(x)$$
La fonction \( tan(x) \) est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, on a :
Effectuons le changement de variable suivant : \(u = cos(t)\).
On a maintenant :
$$ \begin{align*} \int^x \frac{sin(t)}{cos(t)} \ dt = \int^x -\frac{du}{u} \end{align*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u = cos(t) \\ du = -sin(t) \ dt \end{align*} $$
Soit,
$$ \int^x tan(t) \ dt = - ln|cos(x)| = ln|sec(x)|$$
La fonction \( arcsin(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sin(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arcsin(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \\ v(t) = t \end{align*} $$
On a :
Soit finalement,
$$ \int^x arcsin(t) \ dt = x \ arcsin(x) + \sqrt{1-x^2}$$
La fonction \( arccos(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cos(x) \), elle est définie de la manière suivante :
De la même manière que plus haut pour la fonction \(arcsin(x)\), on fait une intégration par parties avec : :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arccos(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = -\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \\ v(t) = t \end{align*} $$
On a :
Soit finalement,
$$ \int^x arccos(t) \ dt = x \ arccos(x) - \sqrt{1-x^2}$$
La fonction \( arctan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arctan(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{1+t^2} \\ v(t) = t \end{align*} $$
On a :
Soit finalement,
$$ \int^x arctan(t) \ dt = x \ arctan(x) - \frac{1}{2} ln\left(1+x^2 \right)$$
La fonction \( cosec(x) \) est définie de la manière suivante :
On remarque tout d'abord que :
Or,
$$ \Biggl \{ \begin{align*} cosec^2(x) = -cotan(x)' \\ -cosec(x)cotan(x) = cosec(x)' \end{align*} $$
Soit maintenant,
Alors, on peut intégrer directement et :
Soit finalement,
$$\int^x cosec(t) \ dt = ln \left|cosec(x) -cotan(x) \right|$$
La fonction \( sec(x) \) est définie de la manière suivante :
On remarque tout d'abord que :
Or,
$$ \Biggl \{ \begin{align*} sec^2(x) = tan'(x) \\ sec(x)tan(x)= sec'(x) \end{align*} $$
Soit maintenant,
Alors, on peut intégrer directement et :
Soit finalement,
$$\int^x sec(t) \ dt = ln \left|sec(x) + tan(x) \right|$$
La fonction \( cotan(x) \) est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, on a :
Soit,
Effectuons le changement de variable suivant : \(u = sin(t)\).
On a maintenant :
$$ \begin{align*} \int^x cotan(t) \ dt = \int^x \frac{du}{u} \end{align*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u = sin(t) \\ du = cos(t) \ dt \end{align*} $$
Soit finalement,
$$ \int^x cotan(t) \ dt = - ln|sin(x)| = ln|cosec(x)|$$
La fonction \( arccosec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arccosec(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \left \{ \begin{align*} u'(t) = - \frac{dt}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} \\ v(t) = t \end{align*} \right \} $$
On a :
Pour gérer la valeur absolue, on peut poser :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} w = |t| \\ dw = \frac{t}{|t|}dt \ \end{align*}$$
On a calculé plus haut cette intégrale :
Soit finalement,
$$\int^x arccosec(t) \ dt = x \ arccosec(x) + ln \left|\sqrt{x^2-1} + |x| \right|$$
La fonction \( arcsec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(arccosec(x)\) plus haut :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arcsec(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \left \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} \\ v(t) = t \end{align*} \right \} $$
On obtient directement,
$$\int^x arcsec(t) \ dt = x \ arcsec(x) - ln \left|\sqrt{x^2-1} + |x| \right| $$
La fonction \( arccotan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(arccosec(x)\) plus haut :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arccotan(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \left \{ \begin{align*} u'(t) = -\frac{dt}{ 1 + x^2} \\ v(t) = t \end{align*} \right \} $$
On obtient directement,
$$\int^x arccotan(t) \ dt = x \ arccotan(x) + \frac{1}{2} ln\left(1+x^2 \right) $$
La fonction \( sinh(x) \) est définie de la manière suivante :
De la même manière que plus haut pour la fonction \(sin(x)\), on obtient directement :
$$ \int^x sinh(t) \ dt = cosh(x)$$
La fonction \( cosh(x) \) est définie de la manière suivante :
De la même manière que plus haut pour la fonction \(sinh(x)\), on obtient directement :
$$ \int^x cosh(t) \ dt = sinh(x)$$
La fonction \( tanh(x) \) est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, on a :
De la même manière que plus haut avec la fonction \(tan(x)\), on effectue la changement de variable : \(u = cosh(t)\).
On finit par obtenir que,
$$ \int^x tanh(t) \ dt = ln|cosh(x)| = -ln|sech(x)|$$
La fonction \( arcsinh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sinh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arcsinh(x) = ln \left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
De la même manière que plus haut, on fait une intégration par parties avec : :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arcsinh(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \\ v(t) = t \end{align*} $$
On a :
Soit finalement,
$$ \int^x arcsinh(t) \ dt = x \ arcsinh(x) - \sqrt{1+x^2}$$
La fonction \( arccosh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$arccosh(x) = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - 1}\Bigr| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
De la même manière que plus haut, on fait une intégration par parties avec : :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arccosh(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \\ v(t) = t \end{align*} $$
On a :
Soit finalement,
$$ \int^x arccosh(t) \ dt = x \ arccosh(x) - \sqrt{x^2-1}$$
La fonction \( arctanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arctanh(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{1-x^2} \\ v(t) = t \end{align*} $$
On a :
Soit finalement,
$$ \int^x arctanh(t) \ dt = x \ arctanh(x) + ln|1 - x^2|$$
La fonction \( cosech(x) \) est définie de la manière suivante :
En appliquant le même raisonnement qu'avec la fonction \(cosec(x)\) plus haut :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} cosech^2(x) = -cotanh(x)' \\ -cosech(x)cotanh(x) = cosech(x)' \end{align*} $$
On obtient directement :
$$\int^x cosech(t) \ dt = ln \left|cosech(x) -cotanh(x) \right|$$
La fonction \( sech(x) \) est définie de la manière suivante :
Soit,
Effectuons le changement de variable suivant : \(u = sinh(t)\).
On a maintenant :
$$ \begin{align*} \int^x sech(t) \ dt = \int^x \frac{du}{1 + u^2} \end{align*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u = sinh(t) \\ du = cosh(t) \ dt \end{align*} $$
Soit finalement,
$$\int^x sech(t) \ dt = arctan(sinh(x)) $$
La fonction \( cotanh(x) \) est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, on a :
De la même manière que plus haut, on effectue la changement de variable : \(u = sinh(t)\).
On a maintenant :
$$ \begin{align*} \int^x cotanh(t) \ dt = \int^x \frac{du}{u} \end{align*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} u = sinh(t) \\ du = cosh(t) \ dt \end{align*} $$
On finit par obtenir que,
$$ \int^x cotanh(t) \ dt = ln|sinh(x)| = -ln|cosech(x)|$$
La fonction \( arccosech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arccosech(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \left \{ \begin{align*} u'(t) = - \frac{dt}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} \\ v(t) = t \end{align*} \right \} $$
Idem que plus haut, on pose :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} w = |t| \\ dw = \frac{t}{|t|}dt \ \end{align*}$$
On a calculé plus haut cette intégrale :
Soit finalement,
$$\int^x arccosech(t) \ dt = x \ arccosech(x) + ln \left|\sqrt{x^2+1} + |x| \right|$$
La fonction \( arcsech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(arccosech(x)\) plus haut :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arcsech(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \left \{ \begin{align*} u'(t) = - \frac{dt}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{\frac{1}{ x^2} - 1}} \\ v(t) = t \end{align*} \right \} $$
On obtient directement,
$$\int^x arcsech(t) \ dt = x \ arcsec(x) + arcsin(x) $$
La fonction \( arccotanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(arccosech(x)\) plus haut :
$$ \ \Biggl \{ \begin{align*} u(t) = arccotanh(t) \\ v'(t) = dt \end{align*} $$
$$ \left \{ \begin{align*} u'(t) = \frac{dt}{1-x^2} \\ v(t) = t \end{align*} \right \} $$
On obtient directement,
$$\int^x arccotanh(t) \ dt = x \ arccotanh(x) + ln \left|1-x^2 \right| $$
Retour en haut de page
