Les méthodes d'intégration des fractions rationnelles
Avec un dénominateur du second degré seul \( : {\displaystyle \int^x} \frac{1}{Q_2(t)} \ dt \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q}$$
-
\( \alpha) \) Le discriminant est positif \(: \Delta > 0 \)
$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{x_1, x_2 \bigr\} \Bigr],$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right|, \hspace{2em} avec \ \left \{ \begin{align*}
x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\
x_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{align*} \right \} \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q > 0) $$
Dans le cas spécifique où \((p=0, \ q-1)\), on a en prime une définition explicite de la fonction \(arctanh\) :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$
$$arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right|$$
-
\( \beta) \) Le discriminant est nul \(: \Delta = 0 \)
$$\forall x \in \hspace{0.05em} \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.05em} \backslash \Bigl \{ -\frac{p}{2} \Bigr\} \biggr],$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = - \frac{1}{ x + \frac{p}{2} } \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q= 0) $$
-
\( \gamma) \) Le discriminant est négatif \(: \Delta < 0 \)
$$\forall x \in \mathbb{R},$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ arctan \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q< 0) $$
$$ S_2(x) = \frac{Ax + B}{x^2 + px + q}$$
$$ selon \ le \ r\textit{é}sultat \ de \ (\Delta = p^2 - 4q) \enspace \left \{ \begin{align*}
si \ \Delta > 0 \Longrightarrow \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{x_1, x_2 \bigr\} \Bigr], \\
si \ \Delta = 0 \Longrightarrow \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ - \frac{p}{2} \right\} \biggr], \\
si \ \Delta < 0 \Longrightarrow \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{x_1, x_2 \bigr\} \Bigr],
\end{align*} \right \} $$
$$ \int^x \frac{At + B}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{A}{2}ln\left|x^2 + px + q\right| + \int^x \frac{B - \frac{Ap}{2}}{t^2 + pt + q} \ dt $$
$$ \left(avec \ l'int\textit{é}grale \ \int^x \frac{B - \frac{Ap}{2}}{t^2 + pt + q} \ dt \enspace \textit{à} \ d\textit{é}terminer \ selon \ le \ discriminant \ \Delta = p^2 - 4q \right) $$
Récapitulatif des méthodes d'intégration et primitives
Démonstrations
De manière générale, on va toujours chercher à se réduire à une fraction entière avec un reste, plutôt que de rester avec un numérateur de plus haut degré que le dénominateur.
Par exemple,
$$ R(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{x+1}$$
Après la division euclidienne de \((3x^2 + 2x + 1)\) par \((x+1)\) il reste :
$$ R(x) = \ \underbrace{ 3x^2 - 3x + 5 } _\text{partie entière} \ - \ \underbrace{ \frac{5}{x+1}} _\text{reste}$$
Ce qui nous permet maintenant de facilement intégrer :
$$ \int^x R(t) \ dt = \int^x \Bigl( 3t^2 - 3t + 5 \Bigr)\ dt - \int^x \frac{5}{t+1}\ dt $$
$$ \int^x R(t) \ dt = x^3 - \frac{3t^2}{2} + 5x -5ln\bigl|t+1\bigr|$$
De même, lorsque l'on a polynôme de type \(ax^2 + bx + c\), on cherchera plutôt à obtenir la forme \(x^2 + px + q\), quitte à simplifier avant l'intégration avant de rehabiliter ce facteur par la suite.
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q}$$
-
\( \alpha) \) Le discriminant est positif \(: \Delta > 0 \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q} \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q > 0) $$
Soit dans notre cas,
$$ S_1(x) = \frac{1}{a (x - x_1) (x - x_2) }$$
$$ avec \ \left \{ \begin{align*}
x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\
x_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{align*} \right \} $$
$$ S_1(x) =\frac{1}{ (x - x_1) (x - x_2) }$$
Nous allons maintenant chercher à décomposer \(S_1(x)\) en éléments simples.
C'est-à-dire chercher les réels \( A \) et \(B\) tels que :
$$S_1(x) = \frac{A}{(x - x_1)} + \frac{B}{(x - x_2) }$$
En faisant \( (x= x_1)\), on détermine \( A \) :
$$ \underset{(x=x_1)}{S_1(x)}(x - x_1) = \frac{1}{(x - x_2)}= A\Longrightarrow \left(A = \frac{1}{x_1 - x_2}\right) $$
Idem, avec \( (x= x_1)\), on détermine \( B \) :
$$ \underset{(x=x_2)}{S_1(x)}(x - x_2) = \frac{1}{(x - x_2)}= A\Longrightarrow \left(A = \frac{1}{x_2 - x_1}\right) $$
Alors, \(S_1(x)\) peut maintenant s'écrire sous la forme :
$$S_1(x) = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \frac{1}{(x - x_1)} + \frac{1}{(x_2 - x_1)} \frac{1}{(x - x_2) }$$
Ce résultat est alors facilement intégrable :
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \int^x \frac{1}{(t - x_1)} \ dt + \frac{1}{(x_2 - x_1)} \int^x \frac{1}{(x - x_2) } \ dt$$
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \frac{ln\left|x-x_1\right|}{(x_1 - x_2)} + \frac{ ln \left|x-x_2\right|}{(x_2 - x_1)} $$
Soit finalement,
$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{x_1, x_2 \bigr\} \Bigr],$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right|, \hspace{2em} avec \ \left \{ \begin{align*}
x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\
x_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{align*} \right \} \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q > 0) $$
Maintenant, si l'on étudie le cas spécifique où \((p = 0, \ q=-1)\), on a :
$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.1em}\backslash \bigl \{ 1, -1 \bigr\} \Bigr] , \ S_{1\alpha}(x) = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} $$
Avec ce qui précède, on a le couple de solutions : \( (x_1 = 1, \ x_2 = -1)\) et,
$$ \int^x S_{1\alpha}(t) \ dt = \int^x \frac{1}{x^2 - 1} \ dt = \frac{1}{2} ln \left|\frac{x-1}{x+1} \right| $$
De même,
$$ -\int^x \frac{1}{x^2 - 1} \ dt = -\frac{1}{2} \bigl( ln(x-1) - ln(x+1) \bigr) $$
Et alors, en prenant l'opposé de cette intégrale :
$$ \int^x \frac{1}{1 - x^2} \ dt = \frac{1}{2} \bigl( ln(x+1) - ln(x-1) \bigr) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \backslash \bigl \{ -1, 1 \bigr \} \Bigr], \ \int^x \frac{1}{1 - x^2} \ dt = \frac{1}{2} ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right| \qquad(2) $$
Or, on sait grâce aux dérivées des fonctions trigonométriques que :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, \ arctanh(x)' = \frac{1}{1 - x^2}$$
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, \ arctan(x) + C = \int^x \frac{1}{1 - x^2} \ dt \qquad(3) $$
Les expressions \((2)\) et \((3)\) ayant un terme en commun, elles sont toutes les deux égales à une constante près, respectivement dans l'intervalle en commun.
Soit,
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$
$$ arctanh(x) + C_1 = \frac{1}{2} ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right| + C_2 $$
Déterminons cette constante en prenant une valeur de \(x\), par exemple \(x = 0\).
$$ arctanh(0) = 0 $$
$$\frac{1}{2} ln \left|\frac{0+1}{0-1} \right| = ln(1) - ln(1) = 0 $$
Alors, on trouve que :
$$ C_1 = C_2 \Longleftrightarrow C_1 - C_2 = 0 $$
$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right| $$
On obtient alors une définition explicite de la fonction \(artctanh\) :
$$ \forall x \in \hspace{0.05em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$
$$arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right|$$
-
\( \beta) \) Le discriminant est nul \(: \Delta = 0 \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q} \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q > 0) $$
Lors de la résolution d'équations du second degré, si \(\Delta = 0\), alors on sait que la solution est double est vaut :
$$ X_0 = - \frac{p}{2}$$
Et le polynôme \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :
$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$
Soit,
$$ S_1(x) =\frac{1}{ (x - x_0)^2}$$
Alors, l'intégrale de cette fraction vaut directement :
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \int^x \frac{1}{ (t - x_0)^2 } \ dt$$
$$ \int^x S_1(t) \ dt = - \frac{1}{ (x - x_0) } $$
Soit finalement,
$$\forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ - \frac{p}{2} \right\} \biggr],$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = - \frac{1}{ x + \frac{p}{2} } \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q= 0) $$
-
\( \gamma) \) Le discriminant est négatif \(: \Delta < 0 \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q} \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q < 0) $$
Alors, le polynôme n'admet pas de racine réelle.
Pour tout de même intégrer cette fraction, on va chercher à utiliser la forme canonique.
En effet, \((x^2 + px + q)\) vaut presque \(\left(x + \frac{p}{2}\right)^2\), à une constante près :
$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4} $$
On obtient le dénominateur de \(S_1(x)\) en ajoutant deux termes :
$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 \textcolor{#8E5B5B}{ \ + q - \frac{p^2}{4}} = x^2 + px \textcolor{#8E5B5B}{ + q - \frac{p^2}{4}} + \frac{p^2}{4} $$
$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + q - \frac{p^2}{4} = x^2 + px + q $$
On peut alors l'appliquer à notre polynôme :
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q}$$
$$ S_1(x) = \frac{1}{\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} + q} $$
$$ S_1(x) = \frac{1}{\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \Bigl( q - \frac{p^2}{4} \Bigr) } $$
On reconnaît la forme d'une intégrale usuelle :
$$\int^x \frac{u'(t)}{a^2 + u^2} \ dt = \frac{1}{a}arctan \left (\frac{u}{a} \right ) $$
$$ avec \ \left \{ \begin{align*}
u(t) =\left(x + \frac{p}{2}\right) \\
u'(t) = 1 \\
a = \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } \end{align*} \right \} $$
Alors,
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\left(t + \frac{p}{2}\right)^2 + \Bigl( q - \frac{p^2}{4} \Bigr) } \ dt $$
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ arctan \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) $$
Soit finalement,
$$\forall x \in \mathbb{R},$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ arctan \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) \qquad (si \ \Delta = p^2 - 4q< 0) $$
$$ S_2(x) = \frac{Ax + B}{x^2 + px + q}$$
Étant donné que le numérateur est presque la dérivée du numérateur, allons chercher à obtenir une forme de type :
$$\int^x \frac{u'(t)}{u(t)} \ dt = ln\bigl|u(x)\bigr| $$
Pour cela, nous allons ajouter un terme puis le retrancher immédiatement :
$$ S_2(x) = \frac{Ax + \frac{Ap}{2} - \frac{Ap}{2} + B}{x^2 + px + q}$$
Par suite, on peut factoriser par \(\frac{A}{2}\) :
$$ S_2(x) = \frac{ \frac{A}{2} (2x + p) - \frac{Ap}{2} + B}{x^2 + px + q}$$
$$ S_2(x) = \frac{A}{2} \ \frac{2x + p}{x^2 + px + q} + \frac{B - \frac{Ap}{2}}{x^2 + px + q} $$
$$ \int^x S_2(t) = \frac{A}{2}\int^x \frac{2t + p}{t^2 + pt + q} + \int^x \frac{B - \frac{Ap}{2}}{t^2 + pt + q} \ dt $$
La première intégrale est alors celle de la forme recherchée, et la seconde doit s'intégrer selon le résultat du discriminant \(\Delta\), comme vu précédemment.
$$ \int^x S_2(t) = \frac{A}{2}ln\left|x^2 + px + q\right| + \int^x \frac{B - \frac{Ap}{2}}{t^2 + pt + q} \ dt $$
Soit finalement,
$$\forall x \in \mathbb{R},$$
$$ selon \ le \ r\textit{é}sultat \ de \ (\Delta = p^2 - 4q) \enspace \left \{ \begin{align*}
si \ \Delta > 0 \Longrightarrow \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{x_1, x_2 \bigr\} \Bigr], \\
si \ \Delta = 0 \Longrightarrow \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ - \frac{p}{2} \right\} \biggr], \\
si \ \Delta < 0 \Longrightarrow \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigl\{x_1, x_2 \bigr\} \Bigr],
\end{align*} \right \} $$
$$ \int^x \frac{At + B}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{A}{2}ln\left|x^2 + px + q\right| + \int^x \frac{B - \frac{Ap}{2}}{t^2 + pt + q} \ dt $$
$$ \left(avec \ l'int\textit{é}grale \ \int^x \frac{B - \frac{Ap}{2}}{t^2 + pt + q} \ dt \enspace \textit{à} \ d\textit{é}terminer \ selon \ le \ discriminant \ \Delta = p^2 - 4q \right) $$
Exemples d'intégrations
-
Exemples d'intégration d'une fraction rationnelle avec dénominateur du second degré seul \( : {\displaystyle \int^x} \frac{1}{Q_2(t)} \ dt \)
-
Exemple 1 : avec un discriminant positif \((\Delta > 0)\)
$$ D = \int^x \frac{dt}{2t^2 -4t + 1} $$
On essaie de se ramener à une forme de type \(\frac{1}{x^2 + px + q}\).
$$ D = \frac{1}{2} \int^x \frac{dt}{t^2 -2t + \frac{1}{2}} $$
Calculons le discriminant \(\Delta\).
$$ \Delta = p^2 - 4q $$
$$ \Delta = (-2)^2 - 4 \times \frac{1}{2} $$
$$ \Delta = 4 - 2 = 2 $$
On a alors deux solutions \((t_1, t_2)\).
$$ \left \{ \begin{align*}
t_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\
t_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{align*} \right \} \Longleftrightarrow
\left \{ t_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ t_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right \}$$
Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :
$$ D = \frac{1}{2} \int^x \frac{dt}{\left(t - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(t - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } $$
Effectuons une décomposition en éléments simples :
Posons la fonction \(F(X) \) :
$$F(X) = \frac{1}{\left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } \qquad (F(X))$$
Nous allons chercher les réels \( a \) et \(b\) tels que :
$$F(X) = \frac{a}{\left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{b}{\left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
En faisant \( \left(X = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), on détermine \( a \) :
$$ \underset{\left(X = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{F(X)} \times \left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}= a \Longrightarrow \left(a = -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$
En faisant maintenant \( \left(X = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), on détermine \( b \) :
$$ \underset{\left(X = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{F(X)} \times \left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}= b \Longrightarrow \left(b = \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$
Enfin, cette intégrale peut s'écrire sous forme décomposée :
$$ D = \int^x -\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\left(t - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } \ dt + \frac{1}{2} \int^x \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\left(t - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } \ dt $$
On peut à présent intégrer :
$$ D = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \Biggl[ ln \left| t - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \Biggr]^x + \frac{1}{2\sqrt{2}} \Biggl[ ln\left| t - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \Biggr]^x$$
$$ D = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \left( ln\left| x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right| - ln\left| x - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \right) $$
$$ D = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times ln\left| \frac{x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} \right| $$
-
Exemple 2 : avec un discriminant nul \((\Delta = 0)\)
$$ E = \int^x \frac{dt}{t^2 + 2t + 1} $$
Calculons le discriminant \(\Delta\).
$$ \Delta = p^2 - 4q $$
$$ \Delta = 2^2 - 4 \times 1 $$
$$ \Delta = 4 - 4 = 0 $$
On a alors une solution double \( t_0 \).
$$t_0 = \frac{- 2}{2} = -1 $$
Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :
$$ E = \int^x \frac{dt}{(t+1)^2} $$
À partir d'ici, on intègre facilement et :
$$ E = \Bigg[ -\frac{1}{t+1} \Biggr]^x $$
$$ E = -\frac{1}{x+1} $$
-
Exemple 3 : avec un discriminant négatif \((\Delta < 0)\)
$$ F = \int^x \frac{dt}{t^2 + t + 3} $$
Calculons le discriminant \(\Delta\).
$$ \Delta = p^2 - 4q $$
$$ \Delta = 1^2 - 4 \times 3 $$
$$ \Delta = 1 - 12 = -11 $$
Dans ce cas, on va utiliser la forme canonique du polynôme :
$$ F = \int^x \frac{dt}{\left(t + \frac{1}{2} \right)^2 + \left(3 - \frac{1}{4} \right)} $$
$$ F = \int^x \frac{dt}{\left(t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} } $$
$$ F = \int^x \frac{dt}{\left(t + \frac{1}{2} \right)^2 + \sqrt{\frac{11}{4}}^2 } $$
Alors, l'intégrale est maintenant une primitive usuelle :
$$ F = \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{4}}} \times arctan\left( \frac{t + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{11}{4}}} \right) $$
$$ F = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}} \times arctan\left( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}} \left(t + \frac{1}{2} \right) \right) $$
-
Exemple d'intégration d'une fraction rationnelle avec numérateur du premier degré et dénominateur du second degré \(: {\displaystyle \int^x} \frac{P_1(t)}{Q_2(t)} \ dt \)
$$ G = \int^x \frac{3x-5}{-2t^2 + 5t + 6} \ dt $$
Comme précédemment, on se ramène à une forme de type \((x^2 + px + q)\) au dénominateur.
$$ G = -\frac{1}{2} \int^x \frac{3x-5}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$
On utilise la méthode vue plus haut dans la démonstration.
$$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{\frac{A}{2} (2x) + \frac{Ap}{2} - \frac{Ap}{2} + B}{x^2 + px + q} $$
$$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{\frac{A}{2} \left(2x + \frac{Ap}{2} \right) - \frac{Ap}{2} + B}{x^2 + px + q} $$
C'est-à-dire obtenir une séparation en deux quotients distincts :
$$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{A}{2}\frac{2x + p}{x^2 + px + q} + \frac{B - \frac{Ap}{2}}{x^2 + px + q} $$
Et pouvoir utiliser la primitive usuelle :
$$ \int^x \frac{u'}{u} \ du = ln |u|$$
$$ G = -\frac{1}{2} \int^x \frac{\frac{3}{2} \times (2x) + \frac{3 \times \left(-\frac{5}{2}\right)}{2} - \frac{3 \times \left(-\frac{5}{2}\right)}{2} -5}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$
$$ G = -\frac{1}{2} \left( \int^x \frac{ \frac{3}{2} \left(2x -\frac{5}{2}\right) + \frac{15}{4} -5 }{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt \right) $$
On peut maintenant séparer le grand quotient en deux quotiens distincts.
$$ G = -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \int^x \frac{ \left(2x -\frac{5}{2}\right)}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt + \int^x \frac{ \frac{15}{4} -5 }{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt \right) $$
$$ G = -\frac{3}{4} \int^x \frac{ 2x -\frac{5}{2} }{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt \ - \ \frac{1}{2} \int^x \frac{\frac{15}{4} - 5}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$
$$ G = -\frac{3}{4} \Biggl[ ln \left| t^2 -\frac{5}{2}t -3 \right| \Biggr]^x \ + \ \frac{5}{8} \int^x \frac{1}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$
$$ G = -\frac{3}{4} ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{8} G_2 $$
On doit intégrer la seconde intégrale \(G_2\) en utilisant les méthodes précédentes. On calcule le discriminant \(\Delta\).
$$\Delta = p^2 - 4q$$
$$\Delta = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \times (-3)$$
$$\Delta = \frac{25}{4} + 12$$
$$\Delta = \frac{25}{4} + \frac{48}{4}$$
$$\Delta = \frac{73}{4} $$
On a alors deux solutions \((t_1, t_2)\).
$$ \left \{ \begin{align*}
t_1 = \frac{\frac{5}{2} - \sqrt{\frac{73}{4}}}{2}\\
t_2 = \frac{\frac{5}{2} + \sqrt{\frac{73}{4}}}{2}\end{align*} \right \} \Longleftrightarrow
\left \{ t_1 = \frac{5 - \sqrt{73}}{4}, \ t_2 = \frac{5 +\sqrt{73}}{4} \right \}$$
Alors, notre intégrale \(G_2\) peut s'écrire sous forme factorisée :
$$ G_2 = \frac{1}{2} \int^x \frac{dt}{\left(t - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right) \left(t - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right) } $$
Effectuons une décomposition en éléments simples :
Posons la fonction \(F(X) \) :
$$F(X) = \frac{1}{\left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right) \left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right) } \qquad (F(X))$$
Nous allons chercher les réels \( \alpha \) et \(\beta\) tels que :
$$F(X) = \frac{\alpha}{\left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right)} + \frac{\beta}{ \left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right)}$$
En faisant \( \left(X = \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \), on détermine \( \alpha \) :
$$ \underset{\left(X = \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right)}{F(X)} \times \left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right) = \frac{1}{\left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right)}= \alpha \Longrightarrow \left(\alpha = -\frac{2}{\sqrt{73}} \right) $$
En faisant maintenant \( \left(X = \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \), on détermine \( \beta \) :
$$ \underset{\left(X = \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right)}{F(X)} \times \left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right) = \frac{1}{\left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right)}= \beta \Longrightarrow \left(\beta = \frac{2}{\sqrt{73}} \right) $$
Enfin, cette intégrale peut s'écrire sous forme décomposée :
$$ G_2 = -\frac{2}{\sqrt{73}} \int^x \frac{dt}{\left(t - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right)} + \frac{2}{\sqrt{73}}\int^x \frac{dt}{ \left(t - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right)} $$
$$ G_2 = \frac{2}{\sqrt{73}} \left( \Biggl[ ln\left| t - \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right| - ln\left| t - \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right| \Biggr]^x \right) $$
$$ G_2 = \frac{2}{\sqrt{73}} \ ln\left| \frac{x - \frac{5 + \sqrt{73}}{4}}{x - \frac{5 - \sqrt{73}}{4}} \right| $$
$$ G_2 = \frac{2}{\sqrt{73}} \ ln\left| \frac{4x - (5 + \sqrt{73})}{4x - ( 5 - \sqrt{73})} \right| $$
Soit en injectant le résultat précédent, on obtient l'intégrale finale :
$$ G = -\frac{3}{4} ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{8} G_2 $$
$$ G = -\frac{3}{4} ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{8} \times \frac{2}{\sqrt{73}} \ ln\left| \frac{4x - (5 + \sqrt{73})}{4x - ( 5 - \sqrt{73})} \right| $$
$$ G = -\frac{3}{4} \ ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{4\sqrt{73}} \ ln\left| \frac{4x - (5 + \sqrt{73})}{4x - ( 5 - \sqrt{73})} \right| $$
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