Les méthodes d'intégration des fractions rationnelles

Avec un dénominateur du second degré seul

• Le discriminant est positif



Dans le cas spécifique où , on a en prime une définition explicite de la fonction :



• Le discriminant est nul


• Le discriminant est négatif

Avec un numérateur du premier degré et un dénominateur du second degré

é

Récapitulatif des méthodes d'intégration et primitives

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Démonstrations

De manière générale, on va toujours chercher à se réduire à une fraction entière avec un reste, plutôt que de rester avec un numérateur de plus haut degré que le dénominateur.

Par exemple,

Après la division euclidienne de par il reste :

Ce qui nous permet maintenant de facilement intégrer :

De même, lorsque l'on a polynôme de type , on cherchera plutôt à obtenir la forme , quitte à simplifier avant l'intégration avant de rehabiliter ce facteur par la suite.

Avec un dénominateur du second degré seul

• Le discriminant est positif

Lors de la résolution d'équations du second degré, si , alors on sait que les solutions sont :

Et le polynôme se factorise de la sorte :

Soit dans notre cas,

Nous allons maintenant chercher à décomposer en éléments simples.

C'est-à-dire chercher les réels et tels que :




En faisant , on détermine :

Idem, avec , on détermine :




Alors, peut maintenant s'écrire sous la forme :

Ce résultat est alors facilement intégrable :




Soit finalement,




Maintenant, si l'on étudie le cas spécifique où , on a :

Avec ce qui précède, on a le couple de solutions : et,

De même,

Et alors, en prenant l'opposé de cette intégrale :

Or, on sait grâce aux dérivées des fonctions trigonométriques que :

Les expressions et ayant un terme en commun, elles sont toutes les deux égales à une constante près, respectivement dans l'intervalle en commun.




Soit,

Déterminons cette constante en prenant une valeur de , par exemple .

Alors, on trouve que :




On obtient alors une définition explicite de la fonction :




• Le discriminant est nul

Lors de la résolution d'équations du second degré, si , alors on sait que la solution est double est vaut :

Et le polynôme se factorise de la sorte :

Soit,

Alors, l'intégrale de cette fraction vaut directement :




Soit finalement,




• Le discriminant est négatif

Alors, le polynôme n'admet pas de racine réelle.

Pour tout de même intégrer cette fraction, on va chercher à utiliser la forme canonique.

En effet, vaut presque , à une constante près :

On obtient le dénominateur de en ajoutant deux termes :

On peut alors l'appliquer à notre polynôme :

On reconnaît la forme d'une intégrale usuelle :

Alors,




Soit finalement,

Avec un numérateur du premier degré et un dénominateur du second degré

Pour cela, nous allons ajouter un terme puis le retrancher immédiatement :

Par suite, on peut factoriser par :

La première intégrale est alors celle de la forme recherchée, et la seconde doit s'intégrer selon le résultat du discriminant , comme vu précédemment.

Soit finalement,

é

Récapitulatif des méthodes d'intégration et primitives

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Exemples

1. Exemples d'intégration d'une fraction rationnelle avec dénominateur du second degré seul

1. Exemple 1 : avec un discriminant positif

On essaie de se ramener à une forme de type .

Calculons le discriminant .

On a alors deux solutions .




Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :

Effectuons une décomposition en éléments simples :

Posons la fonction :

Nous allons chercher les réels et tels que :




En faisant , on détermine :

En faisant maintenant , on détermine :




Enfin, cette intégrale peut s'écrire sous forme décomposée :




On peut à présent intégrer :



2. Exemple 2 : avec un discriminant nul

Calculons le discriminant .

On a alors une solution double .




Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :

À partir d'ici, on intègre facilement et :



3. Exemple 3 : avec un discriminant négatif

Calculons le discriminant .

Dans ce cas, on va utiliser la forme canonique du polynôme :

Alors, l'intégrale est maintenant une primitive usuelle :

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2. Exemple d'intégration d'une fraction rationnelle avec numérateur du premier degré et dénominateur du second degré

Comme précédemment, on se ramène à une forme de type au dénominateur.

On utilise la méthode vue plus haut dans la démonstration.

C'est-à-dire obtenir une séparation en deux quotients distincts :

Et pouvoir utiliser la primitive usuelle :

On peut maintenant séparer le grand quotient en deux quotiens distincts.




On doit intégrer la seconde intégrale en utilisant les méthodes précédentes. On calcule le discriminant .

On a alors deux solutions .

Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :




Effectuons une décomposition en éléments simples :

Posons la fonction :

Nous allons chercher les réels et tels que :




En faisant , on détermine :

En faisant maintenant , on détermine :




Enfin, cette intégrale peut s'écrire sous forme décomposée :




Soit en injectant le résultat précédent, on obtient l'intégrale finale :