La méthode de Newton

Cette méthode consiste à calculer une certaine valeur plus ou moins connue, mais que l'on souhaiterait approximer plus précisément. La méthode se fait par itération successive.

Soit $ f $ une fonction convexe (resp. concave) et strictement croissante (resp. décroissante) et positive sur un intervalle $ I $ et $ a_0 $ un réel appartenant à $ I $ tel que $ f(a_0) > 0 $ (resp. $ f(a_0) < 0 $).

La méthode consisite à déterminer le réel $ x_0 \in I $, tel que : $ f(x_0) = 0 $

Présentation de la méthode de Newton par dérivations successives

Généralement, on va déterminer la valeur de $ x_0 $ pour laquelle $ f $ s'annule sur $ I $.

Et cette valeur équivaut à :

$$ x_0 = lim_{n \to +\infty} \enspace (a_n) $$

Avec $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite récurrente telle que :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Démonstration

Nous savons que cette fonction va s'annuler à un moment donné, mais nous ne savons pas exactement pour quelle valeur $ x_0 $.

Nous avons représenté la tangente à cette courbe au point $ x = a_0 $, et répondant à l'équation :

$$ T_{a_0}(x) = f'(a_0)(x - a_0) + f(a_0)$$

Nous allons alors chercher à évaluer lorsque cette fonction va s'annuler. On a :

$$ T_{a_0}(x) = 0 $$

$$ f'(a_0)(x - a_0) + f(a_0) = 0 $$

$$ f'(a_0).x - f'(a_0).a_0 + f(a_0) = 0 $$

$$ f'(a_0).x = f'(a_0).a_0 - f(a_0) $$

On sait ici que $ f'(a_0) > 0 $, donc on peut diviser par $ f'(a_0) $.

$$ x = \frac{f'(a_0).a_0 - f(a_0)}{f'(a_0)} $$

$$ x = a_1 = a_0 - \frac{ f(a_0)}{f'(a_0)} $$

Si l'on continue et que l'on fait la même chose ne partant cette fois-ci de $ a_1 $, nous obtiendrons :

$$ a_2 = a_1 - \frac{ f(a_1)}{f'(a_1)} $$

Nous obtenons alors une suite récurrente $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ telle que :

$$ \enspace a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Plus on établira d'itérations successives et plus l'on va tendre vers la valeur souhaitée, soit :

$$ x_0 = lim_{n \to +\infty} \enspace (a_n) $$

Avec $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite récurrente telle que :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

On pourra réitérer le même raisonnement pour une fonction concave et/ou décroissante et/ou négative, à adpater selon le cas.

Exemple

Nous allons tenter de chercher une valeur approchée de $ \sqrt{2} $ par cette méthode.

Soit $ f $ une fonction telle que $ x_0 = \sqrt{2}$ soit solution de $ f(x_0) = 0 $. Partons de cette hypothèse et cherchons à déterminer cette fonction.

$$ x_0 = \sqrt{2} $$

$$ x_0^2 = 2 $$

$$ x_0^2 - 2 = 0 $$

Nous allons alors étudier la fonction $ f $ définie par :

$$ f(x) = x^2 - 2 $$

Et ainsi trouver une valeur approchée de $ x_0 $ pour laquelle $ f(x_0) = 0 $.

Nous sommes bien dans le cas d'une fonction convexe et strictement croissante, nous pouvons alors appliquer la méthode.

Il va s'agir de computer les différentes valeurs de la suite :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Avec $ f(x) = x^2 - 2 $ et sa fonction dérivée $ f'(x) = 2x $.

Soit,

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{a_n^2 - 2}{2a_n} $$

Voici le résultat de la computation avec différentes valeur pour $ a_0 $ :