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Soit \( A, B\) deux propositions.
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$$ symbole $$
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$$ signification $$
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$$ explication $$
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|---|---|---|
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$$ \neg A $$
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$$ non \ A $$
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Cette proposition est vraie si \(A\) est fausse. |
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$$ A \lor B$$
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$$ A \ ou \ B $$
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Cette proposition est vraie si au moins une des deux est vraie. |
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$$ A \land B$$
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$$ A \ et \ B $$
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Cette proposition est vraie si \(A\) et \(B\) sont vraies simultanément. |
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$$ A \Longrightarrow B $$
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$$ A \ implique \ B $$
$$ (Si \ A , \ alors \ B) $$
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Cette proposition signifie que si \( A \) est vraie, alors \( B \) l'est aussi. C'est l'équivalent de \( (\neg A \lor B) \). De même, cette dernière implique que sa contraposée \( (\neg B \Longrightarrow \neg A) \) est aussi vraie. \( A \Longrightarrow B \) indique que \( A \) est une condition suffisante à la réalisation de \( B \), et que \( B \) est une condition nécessaire (mais non suffisante) à la réalisation de \( A \). Exemple : S'il pleut \( (A) \), alors je prendrai mon parapluie \( (B) \). $$ (A \Longrightarrow B) $$
Cela dit, je peux prendre mon parapluie même s'il ne peut pas (par exemple pour me protéger du soleil). Donc la réciproque n'est pas nécssairement vraie. En revanche, sa contraposée est toujours vraie car, si je n'ai pas pris mon parapluie \( ( \neg B) \), alors je peux être sûr qu'il ne pleut pas \( ( \neg A) \). Car si c'était le cas, j'aurai bien pris ce parapluie. $$ ( \neg B \Longrightarrow \neg A) $$
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$$ B \Longrightarrow A $$
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$$ r\textit{é}ciproque \ de \ (A \Longrightarrow B )$$
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Cette proposition est la proposition inverse de \((A \Longrightarrow B ) \). Exemple : La réciproque du théorème de Pythagore. |
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$$ A \Longrightarrow \neg B $$
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$$ n\textit{é}gation \ de \ (A \Longrightarrow B )$$
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Cette proposition est la négation de \((A \Longrightarrow B ) \). Exemple : S'il pleut \( (A) \), alors je ne prendrai pas mon parapluie \( (\neg B) \). $$ (A \Longrightarrow \neg B) $$
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$$ \neg B \Longrightarrow \neg A $$
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$$ contrapos\textit{é}e \ de \ (A \Longrightarrow B) $$
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Cette proposition est la contraposée de \((A \Longrightarrow B)\). Exemple : Si je ne prends pas mon parapluie \( (\neg B) \), alors cela veut dire qu'il ne pleut pas \( (\neg A) \). $$ ( \neg B \Longrightarrow \neg A) $$
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$$ A \Longleftrightarrow B $$
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$$ \textit{é}quivalence \ entre \ A \ et \ B $$
$$ (A \ si \ et \ seulement \ si \ B) $$
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Cette proposition signifie que \( A \) est vraie si et seulement si \( B \) est vraie. \( A \Longleftrightarrow B \) indique que \( A \) est une condition nécessaire et suffisante à la réalisation de \( B \), et réciproquement. Si une implication et sa réciproque sont toutes deux vraies, alors il y a équivalence. $$ (A \Longrightarrow B) \land (B\Longrightarrow A) \equiv (A \Longleftrightarrow B )$$
Exemple : Le théorème de Pythagore et sa réciproque. |
Pour chaque ligne, les propositions \( A \) et \( B \) peuvent être soit vraie, soit fausse, ce qui fait au total quatre cas.
On notera \( 1 \) pour une proposition vraie et \( 0 \) pour une proposition fausse.
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$$ A $$
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$$ B $$
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$$ \neg A $$
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$$ \neg B $$
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$$ A \lor B $$
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$$ A \land B $$
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$$ A \Longrightarrow B $$
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$$ B \Longrightarrow A $$
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$$ A \Longleftrightarrow B $$
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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$$ 0 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 0 $$
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$$ 0 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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$$ 1 $$
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Soit \( P \) une proposition et \( \mathbb{E}\) un ensemble de nombres.
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$$ symbole $$
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$$ signification $$
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|---|---|
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$$ I = [a, b] $$
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Intervalle de \(a\) vers \(b\) contenant \(a\) et \(b\) (intervalle fermé) |
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$$ I = \hspace{0.03em} ]a, b[ $$
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Intervalle de \(a\) vers \(b\) privé \(a\) et de \(b\) (intervalle ouvert) |
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$$ \forall x \in I $$
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Pour tout \(x\) appartenant à un intervalle \(I\) |
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$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{E}^2 $$
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Pour tout couple \((a, b)\) appartenant chacun à l'ensemble \(\mathbb{E}\) |
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$$ \exists x \in \mathbb{E}, \ P $$
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Il existe au moins un nombre \(x\) dans l'ensemble \(\mathbb{E}\), tel que \(P\) est vraie |
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$$ \exists! x \in \mathbb{E}, \ P $$
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Il existe un seul nombre \(x\) dans l'ensemble \(\mathbb{E}\), tel que \(P\) est vraie |
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$$ \mathbb{N} $$
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Ensemble des entiers naturels : \( \bigl \{ 0, 1, 2, ..., n \bigr \}\) |
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$$ [\![ a, n]\!] $$
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Ensemble des entiers naturels de \(a \) jusque \(n \) : \( \bigl \{a, (a +1), (a + 2), ..., n \bigr \}\) $$ [\![ 1, n]\!] = \{1, 2, ..., n\} $$
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$$ \mathbb{Z} $$
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Ensemble des entiers relatifs : \( \bigl \{-n, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., n \bigr \}\) |
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$$ \mathbb{D} $$
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Ensemble des nombres décimaux. Tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme : $$ d = \frac{a}{10^b} \hspace{3em} (a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{N}) $$
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$$ \mathbb{Q} $$
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Ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme : $$ r = \frac{p}{q} \hspace{3em} (p \in \mathbb{Z}, \ q \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^*) $$
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$$ \mathbb{R} $$
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Ensemble des nombres réels. Tous les nombres rationnels \( (\in \mathbb{Q}) \) et irrationnels \( (e, \ \pi, \ \phi, \ \sqrt{2} ...etc.) \) |
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$$ \mathbb{R} \backslash \Bigl \{a, b, c \Bigr \} $$
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Ensemble des nombres réels privé des valeurs \(a, b, c \). |
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$$ \mathbb{C} $$
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Ensemble des nombres complexes. Tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme : $$ c = a + ib \hspace{3em} ( (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2) $$
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$$ \mathbb{K} $$
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Ensemble des scalaires. Tous les nombres appartenant à \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) |
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$$ \mathbb{P} $$
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Ensemble des nombres premiers. L'ensemble des nombres pour seuls diviseurs eux-mêmes et \( 1\) : $$ \mathbb{P} = \Bigl \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...etc. \Bigr\}$$
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$$ \mathbb{K}^{ \mathbb{N}} $$
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Ensemble des suites à valeurs réelles ou complexes |
On a l'inclusion suivante pour l'intégralité des ensembles :
Soit \(f\) une fonction.
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$$ symbole $$
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$$ signification $$
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|---|---|
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$$ D_f $$
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Ensemble de définition d'une fonction \(f\) |
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$$ f(x) = x^2$$
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Définition d'une fonction \(f\) ayant pour variable \(x\) et comme image \(x^2\) |
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$$ f :x \longmapsto x^2 $$
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Définition d'une fonction \(f\) ayant pour variable \(x\) et comme image \(x^2\) |
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$$ (f \circ g) (x) $$
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Définition d'une fonction composée \(f \circ g\) (lire "\(f \) rond \(g \)") ayant pour variable \(x\) $$(f \circ g) (x) = f\bigl(g(x)\bigr) $$
On peut de même créer des composées de composées de fonctions : $$(f \circ g \circ h ) (x) = f\Bigl(g\bigl(h(x)\bigr)\Bigr) $$
$$...etc. $$
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$$ \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr ) (x) $$
$$ (symbole \ non \ officiellement \ admis \ a \ priori) $$
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Opérateur de composition de fonctions: $$ \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr ) (x) = \Bigl(f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_{n}\Bigr)(x) $$
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$$ f' $$
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Dérivée de la fonction \(f\) (notation de Lagrange) |
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$$ \frac{df}{dx} $$
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Dérivée la fonction \(f\) par rapport à \(x\) (notation de Leibniz) |
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$$ f^{(n)}$$
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Dérivée \(n\)-ième de la fonction \(f\) |
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$$ fonction \ de \ classe \ \mathcal {C}^n \ sur \ I $$
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Fonction continue et dérivable \(n\) fois sur un intervalle \(I\) |
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$$ \frac{\partial y}{\partial x} dx $$
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Dérivée partielle d'une fonction \(y = f(x, z,t) \) de plusieurs variables dont \(x\), par rapport à \(x\) uniquement. |
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$$ dy = \frac{\partial y}{\partial x} dx + \frac{\partial y}{\partial z}dz + \frac{\partial y}{\partial t}dt $$
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Dérivée d'une fonction \(y = f(x, z, t ) \) ayant des variables indépendantes \(x, z, t \). C'est la somme de toutes les dérivées partielles par rapport respectivement à chaque variable. |
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$$ DL_n(a)$$
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Développement limité d'ordre \(n\) au voisinage d'un point \(x = a\) (très souvent \(0\)) |
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$$ \int^x f(t) \ dt $$
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La famille de primitives de la fonction \(f\) à une constante près. |
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$$ \int_a^x f(t) \ dt $$
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Intégrale définie de \(a\) vers \(x\) de la fonction \(f\). Graphiquement, cela correspond à l'aire sous la courbe de la fonction \(f\) dans l'intervalle \([a, x]\), et c'est aussi l'intégrale de \(f\) qui s'annule en \(a\). |
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$$ \int_a^b f(t) \ dt $$
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Intégrale de \(a\) vers \(b\) de la fonction \(f\). Graphiquement, cela correspond à l'aire sous la courbe de la fonction \(f\) dans l'intervalle \([a, b]\). |
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$$ \sum_{k=0}^n \ f(k) $$
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Somme de \(0\) jusque \(n\) des \(f(k)\) : $$ \sum_{k=0}^n \ f(k) = f(0) + f(1) + ... + f(n) $$
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$$ \sum u_n $$
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Série numérique associée à une suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) : |
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$$ S_n = \sum_{k=0}^n u_n $$
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Somme partielle de la série \( \sum u_n\), de \(0\) jusque \(n\) |
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$$ R_n = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} u_n $$
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Reste de la série \( \sum u_n\) : $$ \sum u_n = S_n + R_n = \sum_{k=0}^n u_n + \sum_{k=n+1}^{+ \infty} u_n $$
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$$ \prod_{k= 0}^n \ f(k) $$
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Produit de \(0\) jusque \(n\) des \(f(k)\) : $$ \prod_{k=0}^n \ f(k) = f(0) f(1) ... f(n) $$
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$$ lim_{x \to a} \ f(x) = l $$
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Limite d'une fonction \(f \) lorsque \(x \) tend vers \( a \). \( a \) et \( l \) peuvent être un nombre ou une extrémité \( (-\infty\) ou \(+\infty) \) . |
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$$ f(x) \underset{a}{\longmapsto} l $$
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Limite d'une fonction \(f \) lorsque \(x \) tend vers \( a \) (écriture raccourcie) On lit : "\( f(x) \) tend vers \( l \), lorsque \(x \) tend vers \( a \)". |
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$$ n! $$
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La factorielle de \(n \) : $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \ \times \ ... \ \times \ 2 \times 1$$
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$$ \binom{n}{k} $$
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Le nombre de façons de prendre \( k \) éléments parmis \(n \). On lit : "\( k \) parmis \(n \)". $$\binom{n}{k} = \frac{n !}{(n-k)! \ k !}$$
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$$ M = \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \dots & x_{1, p} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \dots & x_{2, p} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n,1} & x_{n,2} & x_{n,3} & \dots & x_{n, p} \\ \end{pmatrix} $$ |
La matrice \( M \) à \( n \) lignes et \( p \) colonnes. |
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$$ M_3 = \ \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} \\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} \\ \end{pmatrix} $$ |
La matrice carrée \( M_3 \) à \( 3 \) lignes et \( 3 \) colonnes. |
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$$ \underbrace{ \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \dots & x_{1, p} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \dots & x_{2, p} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n,1} & x_{n,2} & x_{n,3} & \dots & x_{n, p} \\ \end{pmatrix} } _\text{M} \times \underbrace{ \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ . \\ a_n \\ \end{pmatrix} } _\text{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ . \\ y_n \\ \end{pmatrix} } _\text{Y} $$ |
Le produit matriciel de la matrice \( M\) avec la matrice \( A\). Le nombre de colonnes de la matrice \( M\) doit être le même que le nombre de lignes de celle de \( A\). Le résultat, la matrice \( Y\), est un matrice du même type que le facteur de droite du produit. |
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$$ det(M) = \begin{vmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \dots & x_{1, p} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \dots & x_{2, p} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n,1} & x_{n,2} & x_{n,3} & \dots & x_{n, p} \\ \end{vmatrix} $$ |
Le déterminant de la matrice \( M \) à \( n \) lignes et \( p \) colonnes. |
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$$ A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K})$$
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La matrice \(A\) appartenant à l'ensemble des matrices (et plus précisément l'espace vectoriel) de \(n\) lignes et \(p\) colonnes sur le corps \(\mathbb{K}\). |
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$$ A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n} (\mathbb{K})$$
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La matrice carrée \(A\) appartenant à l'ensemble des matrices carrées (et plus précisément l'espace vectoriel) de taille \(n\) sur le corps \(\mathbb{K}\). |
Soit \((a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2\) deux entiers relatifs.
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$$ symbole $$
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$$ signification $$
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|---|---|
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$$ \mathcal{D}(a)$$
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L'ensemble des diviseurs de \(a\) |
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$$ p \in \mathbb{P}$$
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\(p\) est un nombre premier |
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$$ \mathcal{D}(p) = \{1, p\}$$
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\(p\) est un nombre premier |
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$$ a / b$$
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\(a\) divise \(b\) |
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$$ a \nmid b $$
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\(a\) ne divise pas \(b\) |
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$$ \mathcal{D}(a, b) $$
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L'ensemble des diviseurs communs à \(a\) et à \(b\) |
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$$ \delta = PGCD(a, b)= a \wedge b $$
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\( \delta\) est le plus grand diviseur commun à \(a\) et à \(b\). |
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$$ a \wedge b = 1 $$
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\(a\) et \(b\) sont premiers entre eux. On peut dire aussi qu'ils sont "étrangers". |
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$$ PPCM(a, b) $$
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\( PPCM(a, b) \) est le plus grand multiple commun à \(a\) et à \(b\). |
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$$ a \equiv b \hspace{0.2em} [n] $$
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\(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\). On dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) s'ils ont le même reste \(R\) dans la division euclidienne par \(n\). $$ a \equiv b \hspace{0.2em} [n] \Longleftrightarrow \exists (q, q') \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace \exists R \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, \enspace 0 \leqslant R < n, \ \Biggl \{ \begin{align*} a = nq + R \\ b= nq' + R \end{align*} $$ |
Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs.
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$$ symbole $$
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$$ signification $$
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|---|---|
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$$ \vec{u} $$
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Un vecteur \(\vec{u} \) |
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$$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} $$ |
Un vecteur \(\vec{u} \) de coordonnées \(x,y,z\) |
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$$ || \vec{u} || $$
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La norme (ou longueur) d'un vecteur \( \vec{u}\). Soit un vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\), alors sa norme vaut : $$ || \vec{u} || = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
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$$ \vec{u}. \vec{v}$$
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Le produit scalaire des vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) vaut : $$ \vec{u}. \vec{v} = || \vec{u} || \times || \vec{v} || \times cos( (\vec{u}, \vec{v}) ) $$
Sinon, en fonction des coordonnées, si l'on a deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\), alors ce produit scalaire vaut : $$ \vec{u}. \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$
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$$ \vec{u} \land \vec{v}$$
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Le produit vectoriel des vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) vaut : $$ \vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} y_1.z_2 - y_2.z_1 \\ x_2.z_1 - x_1.z_2 \\ x_1.y_2 - x_2.y_1 \end{pmatrix} $$
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$$ lettre $$
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$$ min $$
|
$$ maj $$
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$$ exemple \ d'utilisation $$
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|---|---|---|---|
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$$ alpha $$
|
$$ \alpha $$ |
$$ A $$ |
Mesure d'un angle |
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$$ b\textit{ê}ta $$
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$$ \beta $$ |
$$ B $$ |
Mesure d'un angle |
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$$ gamma $$
|
$$ \gamma $$ |
$$ \Gamma $$ |
Mesure d'un angle |
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$$ delta $$
|
$$ \delta $$ |
$$ \Delta $$ |
Différence entre deux éléments physiquement mesurables. Exemples :
$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ y_b - y_a }{ x_b - x_a }$$
$$ \Delta = b^2 - 4ac$$
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|
$$ epsilon $$
|
$$ \varepsilon $$ |
$$ E $$ |
Élément infinitésimal. Si une fonction est dérivable, elle admet un développement limité d'ordre \( 1\) au point \(a\) tel que : $$f(x) \underset{a}{ =} f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a) . \varepsilon(x-a)$$
$$ (avec \enspace lim_{x \to a} \ \varepsilon(x-a) = 0)$$
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|
$$ z \textit{ê}ta $$
|
$$ \zeta $$ |
$$ Z $$ |
$$\zeta (s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^s} = 1 + \frac{1}{2^s} +\frac{1}{3^s}... $$
|
|
$$ \textit{ê}ta $$
|
$$ \eta $$ |
$$ H $$ |
Un rendement. Exemple : le rendement d'une chaudière $$\eta = { P_u \over P_a } $$
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|
$$ th\textit{ê}ta $$
|
$$ \theta $$ |
$$ \Theta $$ |
Variable d'un angle. Exemple : la forme exponentielle d'un complexe $$ e^{i \theta} = cos(\theta) + isin(\theta) $$
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|
$$ iota $$
|
$$ \iota $$ |
$$ I $$ |
$$ $$ |
|
$$ kappa $$
|
$$ \kappa $$ |
$$ K $$ |
$$ $$ |
|
$$ lambda $$
|
$$ \lambda $$ |
$$ \Lambda $$ |
Nombre réel quelconque. Exemple : la dérivée d'une fonction multipliée par une constante $$ (\lambda f)' = \lambda f' $$
|
|
$$ mu $$
|
$$ \mu $$ |
$$ M $$ |
Nombre réel quelconque. Exemple : la linéarité de l'intégrale $$ \int_{a}^b \biggl(\lambda f(t) + \mu g(t) \hspace{0.2em} \biggr) dt = \lambda \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt + \mu \int_{a}^b g(t) \hspace{0.2em}dt $$
|
|
$$ nu $$
|
$$ \nu $$ |
$$ N $$ |
Le voisinage \(\nu_a\) d'un point \(a\) |
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$$ xi $$
|
$$ \xi $$ |
$$ \Xi $$ |
Valeur quelconque entre deux valeurs (souvent sur l'axe des abscisses) |
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$$ omicron $$
|
$$ o $$ |
$$ O $$ |
|
|
$$ pi $$
|
$$ \pi $$ |
$$ \Pi $$ |
Constante mathématique représentant le rapport entre le demi-périmètre et le diamétre d'un cercle de rayon \( R = 1 \). $$ \pi \approx 3.14159... $$
Ce symbole est aussi utilisé pour représenter un produit de facteurs : $$ \prod_{k = 1}^n k = 1 \times 2 \hspace{0.1em} \times \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} \times \hspace{0.1em} (n-1) \times n \hspace{0.1em} \hspace{0.1em} = n!$$
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$$ rho $$
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$$ \rho $$ |
$$ P $$ |
Mesure d'une masse volumique : $$ \rho = \frac{m}{V}$$
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|
$$ sigma $$
|
$$ \sigma $$ |
$$ \Sigma $$ |
Opérateur de sommation : $$ \sum_{k=0}^n k = 0 + 1 + 2 \ + \ ... \ + \ n $$
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$$ tau $$
|
$$ \tau $$ |
$$ T $$ |
Représentation d'un taux |
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$$ upsilon $$
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$$ \upsilon $$ |
$$ \Upsilon $$ |
$$ $$ |
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$$ phi $$
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$$ \phi $$ |
$$ \Phi $$ |
Le nombre d'or (constante mathématique) : $$ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$
Parfois utilisé pour repésenter une fonction quelconque. |
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$$ chi \ (prononc \textit{é} "ki") $$
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$$ \chi $$ |
$$ X $$ |
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$$ psi $$
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$$ \psi $$ |
$$ \Psi $$ |
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$$ omega $$
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$$ \omega $$ |
$$ \Omega $$ |
Une pulsation dans les fonctions périodiques : $$ g(t) = A \ cos(\omega t + \phi)$$
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