Les formules trigonométriques d'Euler

Formule d'Euler : écriture exponentielle d'un nombre complexe

$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \qquad (formule \enspace d'Euler)$$

Formules trigonométriques d'Euler

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2cos(px) = e^{ipx} + e^{-ipx} \\ 2i.sin(px) = e^{ipx} - e^{-ipx} \end{gather*} \qquad (formules \enspace trigonom \textit{é} triques \enspace d'Euler) $$

Démonstration

Formule d'Euler : écriture exponentielle d'un nombre complexe

Soit \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique tel que :

Alors si l'on fait un développement limité en \(0\) de \(e^{ix}\), on a :

$$ e^{ix} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o \bigl(x^{2n+1}\bigr) \hspace{0.1em} + ix - i \frac{x^3}{3!} +i \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + i(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr) $$

$$ e^{ix} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\hspace{0.1em} \hspace{0.1em} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} +o \bigl(x^{2n+1}\bigr) \hspace{0.1em} + i \Biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.1em} ... \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o \bigl(x^{2n+2}\bigr)\Biggr) $$

En admettant que les tous les restes tendent vers \( 0 \) quand \( n \to \infty \) :

Alors, le complexe \( z \) de module \( |z|= 1\) peut s'écrire sous forme exponentielle :

Soit finalement,

$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \qquad (formule \enspace d'Euler) $$

Par conséquent, n'importe quel complexe \( z \) pourra alors s'écrire :

Attention à ne pas confondre le "\( x \)" du \( e^{ix} \) la formule d'Euler avec celui dans un nombre complexe écrit \( z = x + iy \). Dans les formules d'Euler, le "\( x \)" représente un angle, ou encore l'argument d'un complexe.

Formules trigonométriques d'Euler

Soit \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, et son conjugué \( \overline{z} \) tels que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = cos(\theta) + isin(\theta) \\ \overline{z} = cos(\theta) - isin(\theta) \end{gather*} $$

Avec l'écriture exponentielle des complexes vue plus haut, on peut réécrire ces deux expressions :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z = e^{i\theta} \\ \overline{z} = e^{-i\theta} \end{gather*} \qquad \Bigl(avec \ \overline{z} = cos(\theta) - isin(\theta) \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \overline{z} = cos(-\theta) + isin(-\theta) \Bigr) $$

En élevant ces deux expressions à la puissance \(p\) :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} z^p = \bigl(e^{i\theta}\bigr)^p = e^{ip\theta} = cos(p\theta) + isin(p\theta) \\ (\overline{z})^p = \bigl(e^{-i\theta}\bigr)^p = e^{-ip\theta} = cos(p\theta) - isin(p\theta) \end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} e^{ip\theta}= cos(p\theta) + isin(p\theta) \qquad (1) \\ e^{-ip\theta} = cos(p\theta) - isin(p\theta) \qquad (2) \end{gather*} $$

En effectuant maintenant l'opération \( (1) + (2) \), on a :

Par ailleurs, en effectuant l'opération \( (1) - (2) \):

Et finalement,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2cos(px) = e^{ipx} + e^{-ipx} \\ 2i.sin(px) = e^{ipx} - e^{-ipx} \end{gather*} \qquad (formules \enspace trigonom \textit{é} triques \enspace d'Euler) $$

Exemples

Notamment dans le cadre de l'intégration, il peut être souhaitable de travailler avec des formes simplifiées de formules trigonométriques.

1. Linéariser une puissance de fonction trigonométrique

Si l'on souhaite linéariser \(cos^3(x) \), on a :

$$ cos^3(x) = \Biggl( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \Biggr)^3 $$

On sait par le le binôme de Newton que :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p $$

D'où le fait que :

$$ \left(e^{ix} + e^{-ix}\right) ^3 = e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix} $$

Soit en injectant notre expression :

$$ cos^3(x) = \frac{e^{3ix} + e^{-3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix}}{8} $$
$$ cos^3(x) = \frac{1}{4}\Biggl( \frac{e^{3ix} + e^{-3ix}}{2} \Biggr) + \frac{3}{4}\Biggl( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \Biggr) $$

Et finalement,

$$ cos^3(x) = \frac{1}{4}\Bigl( cos(3x) + 3cos(x) \Bigr)$$



2. Transformer un produit trigonométrique en somme

Si l'on souhaite obtenir sous forme de somme le produit \(cos(px)sin(qx) \), on a :

$$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ipx} + e^{-ipx}}{2} \Biggr) \Biggl( \frac{e^{iqx} - e^{-iqx}}{2i} \Biggr) $$
$$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ix(p+q)} - e^{-ix(-p+q)} + e^{ix(-p+q)} - e^{-ix(p+q)} }{4i} \Biggr) $$

On remettant un peu d'ordre :

$$cos(px)sin(qx) = \Biggl( \frac{e^{ix(p+q)} - e^{-ix(p+q)} + e^{ix(-p+q)} - e^{-ix(-p+q)} }{4i} \Biggr) $$

Et finalement,

$$cos(px)sin(qx) = \frac{1}{2} \Biggl( sin\Bigl[(p+q)x\Bigr] + sin\Bigl[(-p+q)x\Bigr] \Biggr) $$