Les formules de duplication et d'addition trigonométriques

Les formules de duplication

Les fonctions sinus et cosinus

$$\forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ sin(2\alpha) = 2 sin(\alpha) cos(\alpha) $$

$$ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) $$

$$ cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1 $$

$$ cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha) $$

De même, leurs expressions en fonction de $ tan(\alpha)$ :

$$\forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ sin(2\alpha) = \frac{2 tan(\alpha)}{ 1 + tan^2(\alpha) }$$

$$ cos(2\alpha) = \frac{1 - tan^2(\alpha)}{1 + tan^2(\alpha)} $$

Formules de duplication du binôme

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ cos(nx) = \sum_{k =0}^{n / 2} (-1)^k \ \binom{n}{2k} \ cos^{n-2k}(x) \times sin^{2k}(x) $$

$$ sin(nx) = \sum_{k =0}^{n / 2} (-1)^k \ \binom{n}{2k +1} \ cos^{n-(2k+1)}(x) \times sin^{2k+1}(x) $$

La fonction tangente

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall \alpha \in \Biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\} \Biggr], $$

$$ tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 -tan^2(\alpha)} $$

Les formules d'addition

Les fonctions sinus et cosinus

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha) $$

$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$

$$ sin(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{-} sin(\beta) cos(\alpha) $$

$$ cos(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{+} sin(\alpha) sin(\beta) $$

Par ailleurs,

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(a ) + sin(b) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

$$ sin(a ) - sin(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

$$ cos(a ) + cos(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

$$ cos(b ) - cos(a) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

La fonction tangente

$$\forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall (\alpha, \beta) \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr]^2,$$

$$ tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{ 1 - tan(\alpha)tan(\beta) }$$

$$ tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) \textcolor{#8E5B5B}{-} tan(\beta)}{ 1 \textcolor{#8E5B5B}{+} tan(\alpha)tan(\beta) }$$

Récapitulatif des formules de duplication et d'addition trigonométriques

Démonstrations

Les formules de duplication

Les fonctions sinus, cosinus

En écrivant le complexe d'argument $ 2\alpha$ sous sa forme complexe exponentielle, on a :

$$ e^{i2\alpha} = (e^{i\alpha})^2 = (cos(\alpha) + i.sin(\alpha))^2 $$

$$ e^{i2\alpha} = \Bigl[cos(\alpha) + i.sin(\alpha) \Bigr] \Bigl[cos(\alpha) + i.sin(\alpha) \Bigr] $$

On développe l'expression :

$$ e^{i2\alpha} = cos^2(\alpha) + 2 i.sin(\alpha)cos(\alpha) - sin^2(\alpha) $$

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = \enspace \underbrace{cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)} _\text{partie réelle} \enspace + \enspace i.\underbrace{2 sin(\alpha)cos(\alpha) } _\text{partie imaginaire} $$

On identifie alors les parties réelle et imaginaire du complexe $e^{2i\alpha} $ :

$$ \mathcal{Re}\left(e^{2i\alpha}\right) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) $$

$$\mathcal{Im}\left(e^{2i\alpha}\right) = 2sin(\alpha)cos(\alpha) $$

Or, on sait que :

$$ \mathcal{Re}\left(e^{2i\alpha}\right) = cos(2\alpha) $$

$$ \mathcal{Im}\left(e^{2i\alpha}\right) = sin(2\alpha) $$

Soit finalement,

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ sin(2\alpha) = 2 sin(\alpha) cos(\alpha) $$

$$ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) $$

En utilisant la formule $ cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1 $, on peut retrouver ces deux autres formules.

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1 $$

$$ cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha) $$

Formules de duplication du binôme

Il s'agit de trouver une expression pour le couple :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} cos(nx) \\ sin(nx) \end{align*} $$

en déterminant respectivement les parties réelles et imaginaires du complexe $e^{inx}$.

En écrivant le complexe d'argument $ nx$ sous sa forme complexe exponentielle, on a :

$$ e^{i(nx)} = \hspace{0.1em} \underbrace { cos(nx) } _\text { $\mathcal{Re}(e^{i(nx)} ) $ } \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} i. \underbrace { sin(nx) } _\text {$\mathcal{Im}(e^{i(nx)} ) $} = (e^{ix})^n \qquad (1) $$

Or,

$$ (e^{ix})^n = \Bigl[cos(x) + i.sin(x)\Bigr]^n $$

Alors, on peut appliquer le binôme de Newton qui dit que :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \qquad (Newton ) $$

Soit ici,

$$ (e^{ix})^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} cos^{n-p}(x) \ i^p.sin^p(x) $$

$$ (e^{ix})^n = cos^n(x) + i \binom{n}{1}cos^{n-1}(x) \ sin(x) - \binom{n}{2}cos^{n-2}(x)sin^2(x) -i\binom{n}{3}cos^{n-3}(x) \ sin^3(x) + \binom{n}{4}cos^{n-4}(x) \ sin^4(x) + \hspace{0.1em} ...$$

$$ \hspace{2em} ... \hspace{0.1em} + \binom{n}{n-3}cos^3(x) \ i^{n-3}.sin^{n-3}(x) + \binom{n}{n-2}cos^2(x) \ i^{n-2}.sin^{n-2}(x) + \binom{n}{n-1}cos(x) \ i^{n-1}.sin^{n-1}(x) + i^n \ sin^n(x) $$

Il est impossible de supposer le signe des termes en partant de la fin, car les termes en $i^n$ dépendent tous de $n$.

En revanche, en partant du début, on constate une alternance de termes de type pairs et impairs (de part leur puissance et le terme de leur binôme) correspondant respectivement aux fonction $cos(x)$ et $sin(x)$. D'ailleurs, on remarque aussi une alternance de signes $(+)$ et $(-)$.

$$ (e^{ix})^n = cos^n(x) + i \binom{n}{1}cos^{n-1}(x) \ sin(x) - \binom{n}{2}cos^{n-2}(x)sin^2(x) -i\binom{n}{3}cos^{n-3}(x) \ sin^3(x) + \hspace{0.1em} ...$$

$$ \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \binom{n}{4}cos^{n-4}(x) \ sin^4(x) + i\binom{n}{5}cos^{n-5}(x) \ sin^5(x) -i\binom{n}{6}cos^{n-6}(x) \ sin^6(x) + \binom{n}{7}cos^{n-7}(x) \ sin^7(x) + \hspace{0.1em} ... $$

En mettant un peu d'ordre dans tout çà, on identifie respectivement les parties réelles et imaginaires de $(e^{ix})^n$.

$$ (e^{ix})^n = \hspace{0.2em} \underbrace { cos^n(x) - \binom{n}{2}cos^{n-2}(x)sin^2(x) + \binom{n}{4}cos^{n-4}(x) \ sin^4(x) - \binom{n}{6}cos^{n-6}(x) \ sin^6(x) + \hspace{0.1em} ... } _\text {partie réelle}$$

$$ \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + i \underbrace { \Biggl[ \binom{n}{1}cos^{n-1}(x) \ sin(x) - \binom{n}{3}cos^{n-3}(x) \ sin^3(x) + \binom{n}{5}cos^{n-5}(x) \ sin^5(x) - \hspace{0.1em} ... \Biggr] } _\text {partie imaginaire} $$

Soit,

$$ (e^{ix})^n = \hspace{0.2em} \underbrace { \sum_{k =0}^{n / 2} (-1)^k \ \binom{n}{2k} \ cos^{n-2k}(x) \times sin^{2k}(x) } _\text {partie réelle} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} i. \underbrace { \Biggl[\sum_{k =0}^{n / 2} (-1)^k \ \binom{n}{2k +1} \ cos^{n-(2k+1)}(x) \times sin^{2k+1}(x) \Biggr] } _\text {partie imaginaire} $$

Or, a vu plus haut avec l'expression $(1)$ que :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \mathcal{Re}\Bigl[(e^{ix})^n \Bigr] = cos(nx) \\ \mathcal{Im}\Bigl[(e^{ix})^n \Bigr] = sin(nx) \end{align*} $$

Soit finalement,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ cos(nx) = \sum_{k =0}^{n / 2} (-1)^k \ \binom{n}{2k} \ cos^{n-2k}(x) \times sin^{2k}(x) $$

$$ sin(nx) = \sum_{k =0}^{n / 2} (-1)^k \ \binom{n}{2k +1} \ cos^{n-(2k+1)}(x) \times sin^{2k+1}(x) $$

Exemple

Le calcul de $ cos(nx)$ pour $ n = 3 $ :

$$ cos(3x) = \sum_{k =0}^{3} (-1)^k \ \binom{3}{2k} \ cos^{3-2k}(x) \ sin^{2k}(x)$$

$$ cos(3x) = \binom{3}{0}cos^3(x) - \binom{3}{2}cos(x)sin^2(x) $$

$$ cos(3x) = cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x) $$

La fonction tangente

Nous savons par définition de la tangente que :

$$ tan(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha) }{cos(2\alpha) }$$

Expression de $ sin(2 \alpha) = f(tan( \alpha)) $

Mais,

$$ sin(2\alpha) = 2 sin(\alpha) cos(\alpha)$$

$$ sin(2\alpha) = \frac{2 sin(\alpha) cos^2(\alpha)}{cos(\alpha)}$$

Or, car c'est aussi la dérivée de $ tan(x) $, qui vaut :

$$ tan(x)' = 1 + tan^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$$

Et,

$$ cos^2(\alpha) = \frac{1}{1 + tan^2(\alpha)}$$

On a alors,

$$ sin(2\alpha) = \frac{2 sin(\alpha)}{cos(\alpha) (1 + tan^2(\alpha)) }$$

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ sin(2\alpha) = \frac{2 tan(\alpha)}{ 1 + tan^2(\alpha) }$$

Expression de $ cos(2 \alpha) = f(tan( \alpha)) $

De même,

$$ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$$

$$ cos(2\alpha) = \frac{1}{1 + tan^2(\alpha)} - sin^2(\alpha)$$

$$ cos(2\alpha) = \frac{1}{1 + tan^2(\alpha)} - tan^2(\alpha)cos^2(\alpha)$$

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ cos(2\alpha) = \frac{1 - tan^2(\alpha)}{1 + tan^2(\alpha)} $$

Expression de $ tan(2 \alpha) $

Enfin,

$$ tan(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha) }{cos(2\alpha) }$$

$$ tan(2\alpha) = \frac{2 tan(\alpha)}{ 1 + tan^2(\alpha) } . \frac{1 + tan^2(\alpha)}{ 1 - tan^2(\alpha) }$$

$$ tan(2\alpha) = \frac{2 tan(\alpha)}{1 - tan^2(\alpha)} $$

Soit finalement,

$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall \alpha \in \Biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\} \Biggr], $$

$$ tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 -tan^2(\alpha)} $$

Les formules d'addition

Les fonctions sinus et cosinus

En écrivant le complexe d'argument $ (\alpha + \beta)$ sous sa forme complexe exponentielle, on a :

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = cos(\alpha + \beta) + i.sin(\alpha + \beta) $$

Mais, en factorisant la puissance, on a :

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha + i\beta } $$

Et,

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} . e^{i\beta} \qquad (2) $$

On réécrit la formule $ (2) $ sous forme trigonométrique :

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = (cos(\alpha) + i.sin(\alpha)) (cos(\beta) + i.sin(\beta)) $$

Et on développe l'expression :

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = cos(\alpha)cos(\beta) + i.cos(\alpha)sin(\beta) + i.sin(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) $$

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = \enspace \underbrace{cos(\alpha)cos(\beta)- sin(\alpha)sin(\beta)} _\text{partie réelle} \enspace + \enspace i.\underbrace{\bigl[cos(\alpha)sin(\beta) + sin(\alpha)cos(\beta)\bigr]} _\text{partie imaginaire} $$

On identifie alors les parties réelle et imaginaire du complexe $e^{i(\alpha + \beta)} $ :

$$ \mathcal{Re}\left[e^{i(\alpha + \beta)}\right] = cos(\alpha)cos(\beta)- sin(\alpha)sin(\beta)$$

$$\mathcal{Im}\left[e^{i(\alpha + \beta)}\right] = cos(\alpha)sin(\beta) + sin(\alpha)cos(\beta)$$

Or, on sait que :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \mathcal{Re}\left[e^{i(\alpha + \beta)}\right] = cos(\alpha + \beta) \\ \mathcal{Im}\left[e^{i(\alpha + \beta)}\right] = sin(\alpha + \beta) \end{align*} $$

Soit finalement,

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha) \qquad (3) $$

$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$

Par la même technique, il est possible de retrouver les deux autres formules :

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{-} sin(\beta) cos(\alpha) \qquad (4) $$

$$ cos(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{+} sin(\alpha) sin(\beta) $$

De plus, avec les formules $ (3) $ et $ (4) $ suivantes :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha) \qquad (3) \\ sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) - sin(\beta) cos(\alpha) \qquad (4) \end{align*} $$

En effectuant l'opération $ (3) +(4) $, on obtient :

$$ sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = 2 sin(\alpha) cos(\beta) $$

Maintenant, en posant :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$

On a :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(a ) + sin(b) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

En suivant la même logique pour les trois autres cas, on retrouve les trois autres formules :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, $$

$$ sin(a ) - sin(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

$$ cos(a ) + cos(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

$$ cos(b ) - cos(a) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

La fonction tangente

$$ tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin(\alpha + \beta )}{cos(\alpha + \beta )}$$

Avec les formules d'additions trigonométriques des fonctions sinus et cosinus, on a :

$$ tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha)}{cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta)}$$

On multiplie les numérateur et dénominateur par $cos(\alpha) cos(\beta)$ :

$$ tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta)cos(\alpha) }{cos(\alpha) cos(\beta)} . \frac{cos(\alpha) cos(\beta)}{cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta)}$$

$$ tan(\alpha + \beta ) = (tan(\alpha) + tan(\beta)). \frac{1}{ \frac{cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta)}{cos(\alpha) cos(\beta)}}$$

$$ tan(\alpha + \beta ) = (tan(\alpha) + tan(\beta)). \frac{1}{ 1 - tan(\alpha)tan(\beta) }$$

Et finalement,

$$\forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall (\alpha, \beta) \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr]^2,$$

$$ tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{ 1 - tan(\alpha)tan(\beta) }$$

On peut aussi remarquer qu'il y juste un changement de signe de $ sin( \alpha + \beta) $ à $ sin( \alpha - \beta) $, idem pour le passage de $ cos( \alpha + \beta) $ et $ cos( \alpha - \beta) $.

Alors, on retrouve facilement ce même changement de signe de $ tan( \alpha + \beta) $ à $ tan( \alpha - \beta) $ :

$$\forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall (\alpha, \beta) \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr]^2,$$

$$ tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) \textcolor{#8E5B5B}{-} tan(\beta)}{ 1 \textcolor{#8E5B5B}{+} tan(\alpha)tan(\beta) }$$

Les formules de duplication et d'addition trigonométriques

Démonstrations

Exemple