La formule de Moivre

Soit \( n \in \mathbb{Z}\) un entier relatif, et \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, tel que :

La formule de Moivre nous dit que :

$$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \qquad (Moivre ) $$

Démonstration

Soit \( n \in \mathbb{Z}\) un entier relatif, et \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, tel que :

1. En passant par l'argument d'un complexe

En élevant les deux membres à la puissance \(n\), on a :

$$ z^n = \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n $$

On sait par la propriété des arguments de nombres complexes élevés à une puissance entière que :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z}, \enspace arg(z^n) = n . arg(z) $$

Soit ici que,

$$ arg(z^n) = n . arg(z) $$
$$ arg(z^n) = n \theta $$

Si l'argument du complexe \( z^n \) est \( n \theta \), alors ce dernier peut s'écrire sous la forme :

$$ z^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) $$



Et finalement,

$$ \forall \theta \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace n \in \mathbb{Z}, $$

$$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \qquad (Moivre ) $$




2. En passant par la forme exponentielle d'un complexe

En passant par la forme exponentielle d'un nombre complexe, on peut directement observer que :

$$ cos(\theta) + isin(\theta) = e^{i\theta} $$

Puis, en élevant les deux membres à la puissance \(n\) :

$$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = \bigl(e^{i\theta}\bigr)^n $$
$$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = e^{in\theta} $$



Et finalement,

$$ \forall \theta \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \enspace n \in \mathbb{Z}, $$

$$ \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \qquad (Moivre ) $$