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La formule de Leibniz sur la dérivation d'un produit \( : (fg)^{(n)}\)

Soit deux fonctions \(f, g\) de classe \( \mathbb{C}^{\infty}\) sur un intervalle \(I\). On note \(f^{(n)}\) la dérivée \(n\)-ième de \(f\).

La formule de Leibniz nous dit que :

$$ \forall (p, n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} $$


Démonstration

On sait que la dérivée d'un produit de fonctions vaut :

$$ \left ( f g \right)' \hspace{0.1em }= f'g + g'f $$

De même, si l'on dérive à nouveau,

$$ \left ( f g \right)'' \hspace{0.1em } = (f'g)'+ (g'f)' $$

$$ \left ( f g \right)'' \hspace{0.1em } = f''g + g'f' + f'g' + g''f $$

$$ \left ( f g \right)'' \hspace{0.1em } = f''g + 2g'f' + g''f $$

Un pattern similaire au binôme de Newton transparaît dans cette équation.

En effet, cela peut nous faire penser à :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} \left ( f g \right)^{(2)} \hspace{0.1em } = f^{(2)}g + 2g'f' + g^{(2)}f \qquad \\ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (binôme \enspace de \enspace Newton) \end {align*} $$

Re-dérivons à nouveau,

$$ \left ( f g \right)^{(3)} \hspace{0.1em }= f^{(3)}g + g'f^{(2)} + 2 (g'f^{(2)} + f'g^{(2)}) + g^{(3)}f + f'g^{(2)} $$

$$ \left ( f g \right)^{(3)} \hspace{0.1em }= f^{(3)}g + 3f^{(2)}g' + 3f'g^{(2)} + g^{(3)}f $$

Il semble que les dérivations successives du produit donne :

$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{n-p} \hspace{0.1em} g^p $$

Tentons de le démontrer par récurrence.


Preuve par récurrence

Essayons de montrer que la proposition suivante \((P_n)\) est vraie :

$$ \forall (p, n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (P_n) $$

Soit que pour tout \(k\) :

$$ (fg)^{(k)} = \binom{k}{0} f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + \binom{k}{1} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(1)} + \binom{k}{2} f^{(k-2)} \hspace{0.1em} g^{(2)} \enspace + ... + \enspace \binom{k}{k-1} f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k-1)} + \binom{k}{k} f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \qquad (P_{k}) $$

  1. Calcul du premier terme

  2. Vérifions que c'est bien vrai pour le premier terme, c'est-à-dire lorsque \( n = 0 \).

    $$ \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} = \binom{n}{0} f^{(0)}g^{(0)} = fg $$

    C'est simplement le produit \((fg)\) avant dérivation.

    \((P_0)\) est vraie.


  3. Vérification de l'hérédité

  4. Soit \( k \) (\( k \in \mathbb{N} \)), un entier naturel.

    On suppose que la proposition \((P_k)\) est vrai pour tout \( k \).

    $$ (fg)^{(k)} = \sum_{p = 0}^{k} \binom{k}{p} f^{(k-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (P_{k}) $$

    Vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).

    $$ (fg)^{(k+1)} = \sum_{p = 0}^{k+1} \binom{k+1}{p} f^{(k+1-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (P_{k+1}) $$

    Soit que :

    $$ (fg)^{(k+1)} = \binom{k+1}{0} f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + \binom{k+1}{1} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(1)} + \binom{k+1}{2} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(2)} \enspace + ... + \enspace \binom{k+1}{k} f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} + \binom{k+1}{k+1} f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \qquad (P_{k+1}) $$


    Repartons de \((fg)^{(k)}\) et calculons-en la dérivée.

    $$ (fg)^{(k)} = \binom{k}{0} f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + \binom{k}{1} f^{(k-1)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \enspace + ... + \enspace \binom{k}{k-1} f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k-1)} + \binom{k}{k} f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \qquad (P_{k}) $$

    $$ \left ( (fg)^{(k)} \right)' = \binom{k}{0} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} + f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) + \binom{k}{1} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} + g^{(2)} f^{(k -1 )} \right) \enspace + ... + \enspace \binom{k}{k-1} \left( f^{(2)} \hspace{0.1em} g^{(k-1)} + g^{(k)}f^{(1)} \right) + \binom{k}{k}\left( f^{(1)} g^{(k)} + g^{(k+1)}f^{(0)} \right) $$

    $$ (fg)^{(k+1)} = \textcolor{#4D5890}{\binom{k}{0}} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} \right) + \textcolor{#446e4f}{\left[\binom{k}{0} + \binom{k}{1}\right]} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) + \textcolor{#A65757}{\left[\binom{k}{1} + \binom{k}{2}\right]} \left (f^{(k -1 )} g^{(2)} \right) \enspace + ... + \enspace \textcolor{#7C578A}{\left[\binom{k}{k-1} + \binom{k}{k}\right]} \left (f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \right) + \textcolor{#4D5890}{\binom{k}{k}} \left ( f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \right) $$

    Mais on sait grâce à la formule de Pascal, que :

    $$ \binom{n}{p} = \binom{n - 1}{p - 1} + \binom{n - 1}{p} \qquad (Pascal) $$

    Soit aussi que :

    $$ \binom{n + 1}{p + 1} = \binom{n}{p} + \binom{n}{p + 1} \qquad (1) $$

    Alors grâce à \( (1) \), on a :

    $$ (fg)^{(k+1)} = \textcolor{#4D5890}{\binom{k}{0}} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} \right) + \textcolor{#446e4f}{\binom{k+1}{1}} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) + \enspace + ... + \enspace \textcolor{#7C578A}{\binom{k+1}{k}} \left (f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \right) + \textcolor{#4D5890}{\binom{k}{k}} \left ( f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \right) $$

    Or, on remarque :

    $$ \binom{k}{0} = \binom{k + 1}{0} $$

    De même,

    $$ \binom{k}{k} = \binom{k + 1}{k + 1} $$

    Et finalement que :

    $$ (fg)^{(k+1)} = \binom{k+1}{0} \left ( f^{(k+1)} \hspace{0.1em} g^{(0)} \right) + \binom{k+1}{1} \left (f^{(k)} \hspace{0.1em} g^{(1)} \right) \enspace + ... + \enspace \binom{k+1}{k} \left (f^{(1)} \hspace{0.1em} g^{(k)} \right) + \binom{k+1}{k+1} \left ( f^{(0)} \hspace{0.1em} g^{(k+1)} \right) $$

    On peut réécrire ce terme sous la forme de somme, et on retrouve bien notre proposition \(( P_{k + 1} ) \) :

    $$ (fg)^{(k+1)} = \sum_{p = 0}^{k+1} \binom{k+1}{p} f^{(k+1-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad (P_{k+1}) $$

    \((P_{k + 1})\) est vraie.


  5. Conclusion

  6. La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).

    Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).


Et finalement :

$$ \forall (p, n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} $$

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