Les fonctions logarithmes et exponentielles

Les fonctions logarithmes \(: ln(x), log_a(x)\)

Les deux fonctions \(log_a(x)\) et \(ln(x)\) étant définies de manière équivalente à un coefficient près \(ln(a)\), les propriétés qui vont suivre seront vraies pour toutes les fonctions logarithmiques.

Définition du logarithme naturel

$$ \forall x \in \mathbb{R^+}, $$

$$ ln(x) = \int^x_1 \frac{dt}{t} $$

De même, on a :

Logarithme d'un produit \(: ln(ab)\)

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln(ab) = ln(a)+ ln(b) $$

Logarithme d'un inverse \(: ln \left(\frac{1}{a} \right)\)

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ ln \left(\frac{1}{a} \right) = -ln(a) $$

Logarithme d'un quotient \(: ln \left(\frac{a}{b} \right)\)

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln \left(\frac{a}{b} \right) = ln(a) - ln(b) $$

Logarithme d'une puissance \(: ln \left( a^n \right)\)

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$

$$ ln(a^n) = n \ ln(a) $$

Lien entre logarithme de base a ou b et logarithme naturel \( : log_a(x), log_b(x), ln(x)\)

De manière générale pour deux logarithmes respectivement en base \(a\), \(b\) ou \(e\) (logarithme naturel),

Les fonctions exponentielles \(: e^x, a^x \)

Les fonctions exponentielles, étant définies comme étant la fonction réciproque du logarithme (respectivement à sa base), ont toutes les propriétés réciproques des logarithmes.

Définition d'une fonction exponentielle

Produit d'une exponentielle

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ e^a \ e^b = e^{a+b}$$

Inverse d'une exponentielle

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ \frac{1}{e^b} = e^{- b}$$

Quotient d'une exponentielle

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ \frac{e^a}{e^b} = e^{a - b}$$

Puissance d'une exponentielle

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ (e^a)^b = e^{ab} $$

Valeur de \(e\)

$$ $$

$$ e \approx 2.7182818... $$

Lien entre puissances de base a ou b et l'exponentielle \( : a^x, b^x, e^x\)

Récapitulatif des formules des fonctions logarithmes et exponentielles

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Démonstrations

Les fonctions logarithmes \(: ln(x), log_a(x)\)

Définition du logarithme naturel

Soit \(a \in \mathbb{R}\) un réel et une fonction \(f\) telle que :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \ f : x \longmapsto a^x$$

$$ \hspace{5.5em} \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R^+}$$

Le logarithme vient du fait de déterminer une fonction qui renvoie l'exposant \(x\) de la fonction \(f(x) = a^x\). Cette fonction est alors la fonction réciproque de la fonction \(f\), puisqu'elle renvoie l'identité en faisant l'opération \((f \circ f^{-1})\) :

$$f^{-1} : a^x \longmapsto x $$

$$ \hspace{2.6em} \mathbb{R^+} \longmapsto \mathbb{R}$$

Soit,

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ ((a^x)'\circ f^{-1})} \qquad (1) $$

Or, par définition de la dérivée :

$$ (a^x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{a^{x + h} - a^x}{h} $$

$$ (a^x)' = lim_{h \to 0 } \enspace \frac{a^x a^h - a^x}{h} $$

$$ (a^x)' = a^x \ lim_{h \to 0 } \enspace \frac{a^h - 1}{h} $$

Si l'on prend l'hypothèse que cette limite existe, et qu'on appelle cette limite \(\alpha\), on a :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ (a^x)' = \alpha \ a^x \qquad (2) $$

En injectant l'expression \((2)\) dans \((1)\), on a :

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ (\alpha \ a^x \circ f^{-1})} $$

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ \alpha ( a^x \circ f^{-1})} $$

Mais, \(a^x = f\), alors :

$$ ( f^{-1} )'= \frac{1}{ \alpha x} $$

Et en prenant la primitive de part et d'autre :

$$ \int^x ( f^{-1}(t) )' \ dt = \int^x \frac{1}{ \alpha t} \ dt $$

On peut alors définir la fonction \(f^{-1}\) par une intégrale :

$$ \int^x_1 ( f^{-1}(t) )' \ dt = \int^x_1 \frac{1}{ \alpha t} \ dt $$

$$ f^{-1}(x) - \ \underbrace{ f^{-1}(1) } _\text{\( = \ 0 \)} \ = \frac{1}{ \alpha } \int^x_1 \frac{1}{t} \ dt $$

$$ f^{-1}(x) = \frac{1}{ \alpha } \int^x_1 \frac{dt}{t} \qquad (3) $$

On a alors la définition du logarithme népérien (ou logarithme naturel) suivante :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, $$

$$ ln(x) = \int^x_1 \frac{dt}{t} $$

Par conséquent, on a aussi :

$$ ln(1) = \int^1_1 \frac{dt}{t} = 0$$

$$ ln(1) = 0 $$

Et par ailleurs :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ ln(x)' = \ \left( \int^x_1 \frac{dt}{t} \right)' $$

$$ ln(x)' = \frac{1}{x} $$

Alors,

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, $$

$$ ln(x)' = \frac{1}{x} $$

Enfin, avec la relation \((3)\), pour toute fonction puissance de \(a\) :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ log_a(x) = \frac{ln(x) }{\alpha} \qquad (4) $$

avec un paramètre \(\alpha\) encore à déterminer.

Les deux fonctions \(log_a(x)\) et \(ln(x)\) étant définies à un coefficient près \(\alpha\), les propriétés qui vont suivre seront vraies pour les deux fonctions.

Logarithme d'un produit \(: ln(ab)\)

En reprenant la formule trouvée précédemment, on a :

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln(ab) = \int^{ab}_{1} \frac{dt}{t}$$

En utilisant la relation de Chasles appliquée aux intégrales, on a :

$$ ln(ab) = \int^{a}_{1} \frac{dt}{t} + \int^{ab}_{a} \frac{dt}{t}$$

En posant un changement de variable pour l'intégrale de droite :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} t = a \ u \\ dt = a \ du \end{gather*} $$

$$ ln(ab) = ln(a) + \int^{b}_{1} \frac{ a \ du }{a \ u } $$

$$ ln(ab) = ln(a) + \int^{b}_{1} \frac{ du }{ u } $$

Soit finalement,

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln(ab) = ln(a) + ln(b) $$

Logarithme d'un inverse \(: ln \left(\frac{1}{a} \right)\)

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+,$$

$$ ln \left(\frac{1}{a} \right) = \int^{\frac{1}{a}}_{1} \frac{dt}{t}$$

En posant un changement de variable pour cette intégrale, on a :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} t = \frac{u}{a} \\ dt = \frac{du}{a} \end{gather*} $$

$$ ln \left(\frac{1}{a} \right) = \int^{1}_{a} \frac{du}{a} \frac{a}{u}$$

$$ ln \left(\frac{1}{a} \right) = \int^{1}_{a} \frac{du}{u} $$

$$ ln \left(\frac{1}{a} \right) = -\int^{a}_{1} \frac{du}{u} $$

Soit finalement,

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ ln \left(\frac{1}{a} \right) = -ln(a) $$

Logarithme d'un quotient \(: ln \left(\frac{a}{b} \right)\)

En reprenant simplement les deux propriétés précédentes, on a :

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln \left(\frac{a}{b} \right) = ln \left(a \times \frac{1}{b} \right) $$

$$ ln \left(\frac{a}{b} \right) = ln(a) - ln \left(\frac{1}{b} \right) $$

Et finalement,

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ ln \left(\frac{a}{b} \right) = ln(a) - ln(b) $$

Logarithme d'une puissance \(: ln \left( a^n \right)\)

En reprenant la définition trouvée précédemment :

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2,$$

$$ ln(ab) = ln(a) + ln(b) $$

Et en remplaçant \(b\) par \(a\), on a :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ ln(a^2) = ln(a) + ln(a) $$

$$ ln(a^2) = 2 \ ln(a) $$

De même, en prenant maintenant \(ln(a^3)\) :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+,$$

$$ ln(a^3) = ln(a^2 \times a) $$

$$ ln(a^3) = ln(a^2)+ ln(a) $$

$$ ln(a^3) = 2 \ ln(a) + ln(a) $$

$$ ln(a^3) = 3 \ ln(a) $$

On voit que par une récurrence directe, on obtient :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}, $$

$$ ln(a^n) = n \ ln(a) $$

(Idem en sens inverse pour \( n \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}\))

Par ailleurs, si l'on prend \( n \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}\), on est obligé de procéder autrement :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ ln(a^n) = \int^{a^n}_{1} \frac{dt}{t}$$

En posant le changement de variable suivant :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} t = u^n \\ dt = n \times u^{n-1} \ du \end{gather*} $$

on obtient alors :

$$ ln(a^n) = \int^{a}_{1} \frac{ n \times u^{n-1} }{u^n} \ du $$

$$ ln(a^n) = \int^{a}_{1} \frac{ n \times u^{n-1} }{u^{n-1} \times u} \ du $$

$$ ln(a^n) = n \int^{a}_{1} \frac{du}{u} $$

Soit finalement,

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall n \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$

$$ ln(a^n) = n \ ln(a) $$

Lien entre logarithme de base a ou b et logarithme naturel \( : log_a(x), log_b(x), ln(x)\)

Reprenant l'expression trouvée précédemment :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ log_a(x) = \frac{ln(x) }{\alpha} \qquad (4) $$

Le logarithme en base \(a\), fonction réciproque de la fonction de départ \(a^x\) est définie à un coefficient près de la fonction logarithme naturel. Étudions le comportement de cette relation pour \(x = a^n\) :

$$ log_a( a^n) = \frac{ln( a^n) }{\alpha} \qquad (4) $$

$$ n = n \ \frac{ln(a)}{\alpha} $$

$$ \alpha = ln(a) $$

Alors, on a la relation entre les deux logarithmes suivants :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ log_a(x) = \frac{ln(x) }{ln(a)} $$

Et dans ce cas, on a pour le calcul de sa dérivée :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ log_a(x)' = \left( \frac{ln(x) }{ln(a)}\right)' $$

$$ log_a(x)' = \frac{ln(x)'}{ln(a)} $$

Soit,

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ log_a(x)' = \frac{1}{x \ ln(a)} $$

De manière générale, pour trouver une relation entre deux logarithmes, on étudie :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} log_a(a^x) = x \\ log_b(a^x) = x \ log_b(a) \end{gather*} $$

Maintenant, en combinant ces deux expressions ensembles, on arrive rapidement à :

$$log_b(a^x) = log_a(a^x) \ log_b(a) $$

Et finalement,

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ log_a(x) = \frac{ log_b(x) }{log_b(a)} $$

Par ailleurs, la relation précédent et son pendant nous amène à :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr]^2, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

Soit,

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr]^2, $$

$$ log_a(b) = \frac{1}{log_b(a)} $$

Les fonctions exponentielles \(: e^x, a^x \)

Définition d'une fonction exponentielle

Considérons maintenant la fonction réciproque de la fonction \(g(x) = ln(x)\).

Si l'on reprend la formule de la dérivée de fonctions réciproques, on a :

$$ \forall (g,g^{-1}) \in F(\mathbb{R}, \mathbb{R})^2, \enspace (g' \circ g^{-1}) \neq 0, $$

$$ ( g^{-1} )'= \frac{1}{ (g' \circ g^{-1})} $$

Soit,

$$ ( g^{-1} )'= \frac{1}{ (ln(x)' \circ g^{-1})} $$

$$ ( g^{-1} )'= \frac{1}{ \frac{1}{g^{-1}} } $$

$$ ( g^{-1} )'= g^{-1} $$

This function has itself for derivative !

Cette fonction est la fonction exponentielle qu'on notera \(e^x\) et parfois \(exp(x)\). En effet, nous allons voir par la suite qu'elle a toutes les propriétés d'une fonction puissance de x.

Produit d'une exponentielle

1. En déterminant les propriétés réciproques de la fonction logarithme

Étant donné que la fonction \(g(x) = ln(x)\) a la propriété suivante :

$$ xy \longmapsto ln(xy) = ln(x) + ln(y) $$

$$ \left(\left[ \mathbb{R^*_+} \right]^2 \longmapsto \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2\right)$$

Si on pose :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} X = ln(x) \Longleftrightarrow x = e^{X}\\ Y = ln(y) \Longleftrightarrow y = e^{Y} \end{gather*} \qquad (5) $$

Alors, la fonction réciproque \(g^{-1} = e^x\) doit elle avoir la propriété suivante :

$$ ln(xy) = X + Y \longmapsto xy = e^{X + Y} \qquad (6)$$

$$ \left(\mathbb{R}^2 \hspace{0.05em} \longmapsto \hspace{0.05em}\left[ \mathbb{R^*_+} \right]^2\right)$$

Les relations \((5)\) et \((6)\) ensemble montrent que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ e^a \ e^b = e^{a+b}$$



2. En passant par un développement limité

On sait que le développement limité de la fonction exponentielle en zéro est :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ ... \ + \frac{x^n}{n!}$$

Par ailleurs, en utilisant la formule générale du développement limité en \(a\) sous la forme :

$$ f(a + b) = f(a) + f'(a)b + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}b^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}b^n $$

Or, dans le cas de l'exponentielle, on a vu que :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \ (e^x)' = e^x $$

Ce qui implique que :

$$ f(a) = f'(a) = f^{(2)}(a) = \ ... \ = f^{(n)}(a) $$

Soit,

$$ f(a + b) = f(a) + f(a)b + \frac{f(a)}{2!}b^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f(a)}{n!}b^n $$

$$ f(a + b) = f(a) \underbrace{ \left(1 + b + \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} + \ ... \ + \frac{b^n}{n!} \right) } _\text{\( = \ f(b)\)}$$

$$ f(a + b) = f(a) f(b)$$

Soit finalement,

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ e^a \ e^b = e^{a+b}$$

Inverse d'une exponentielle

Par la même logique que précédemment,

$$ \frac{1}{y}\longmapsto ln\left(\frac{1}{y}\right) = - ln(y) $$

$$ \left(\mathbb{R^*_+} \longmapsto \hspace{0.05em} \mathbb{R}\right)$$

Si on pose,

$$ Y = ln(y) \Longleftrightarrow y = e^{Y} \qquad (5) $$

Alors,

$$ ln \left(\frac{1}{y} \right) = - Y \longmapsto \frac{1}{y} = e^{- Y} \qquad (7)$$

$$ \left(\mathbb{R} \hspace{0.05em} \longmapsto \hspace{0.05em} \mathbb{R^*_+}\right)$$

Les relations \((5)\) et \((7)\) ensemble montrent que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ \frac{1}{e^b} = e^{- b}$$

Quotient d'une exponentielle

Par la même logique que précédemment,

$$ \frac{x}{y} \longmapsto ln\left(\frac{x}{y}\right) = ln(x) - ln(y) $$

$$ \left(\left[ \mathbb{R^*_+} \right]^2 \longmapsto \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2\right)$$

Si on pose,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} X = ln(x) \Longleftrightarrow x = e^{X}\\ Y = ln(y) \Longleftrightarrow y = e^{Y} \end{gather*} \qquad (5) $$

Alors,

$$ ln \left(\frac{x}{y} \right) = X - Y \longmapsto \frac{x}{y} = e^{X - Y} \qquad (8)$$

$$ \left(\mathbb{R}^2 \hspace{0.05em} \longmapsto \hspace{0.05em}\left[ \mathbb{R^*_+} \right]^2\right)$$

Les relations \((5)\) et \((8)\) ensemble montrent que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ \frac{e^a}{e^b} = e^{a - b}$$

Puissance d'une exponentielle

Par la même logique que précédemment,

$$ x^n \longmapsto ln\left(x^n \right) = n \ ln(x) $$

$$ \left(\mathbb{R^*_+} \longmapsto \hspace{0.05em} \mathbb{R}\right)$$

Si on pose,

$$ X = ln(x) \Longleftrightarrow x = e^{X} \qquad (5) $$

Alors,

$$ ln \left(x^n \right) = nX \longmapsto x^n = e^{nX} \qquad (9)$$

$$ \left(\mathbb{R} \hspace{0.05em} \longmapsto \hspace{0.05em} \mathbb{R^*_+}\right) $$

Les relations \((5)\) et \((9)\) ensemble montrent que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$ (e^a)^b = e^{ab} $$

Valeur de \(e\)

Pour déterminer une valeur précise pour le nombre \(e\), on peut passer le développement limité de la fonction exponentielle en zéro :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ ... \ + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$

$$ e^x = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n)$$

Alors, pour \(x = 1\), on a:

$$ e^1 = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + o(x^n) $$

Cette somme converge vers \(2.7182818...etc\) (voir tableau ci-après).

$$ e \approx 2.7182818... $$

Lien entre puissances de base a ou b et l'exponentielle \( : a^x, b^x, e^x\)

De même, on a vu précédemment que :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ log_a(x) = \frac{ln(x) }{ln(a)} $$

En remplaçant \(x\) par \(a^x\), toujours strictement positif sur \(\mathbb{R}\) :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ log_a(a^x) = \frac{ln(a^x) }{ln(a)} $$

$$ x \ ln(a) = ln(a^x) $$

Finalement, en appliquant la fonction exponentielle de chaque côté,

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ a^x = e^{x \ ln(a)} $$

Avec ce résultat, on peut en déduire la dérivée de \(a^x\). En effet au chapitre sur la détermination de la source de la fonction logarithmique, on avait :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ (a^x)' = \alpha \ a^x \qquad (2) $$

Et nous avons pu déterminé en établissant un lien entre un logarithme en base a et le logarithme naturel que : \(\alpha = ln(a)\).

Alors, on en déduit que :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ (a^x)' = a^x \ ln(a) $$

Et de manière générale, pour trouver la relation entre deux puissances de x, on reprend la formule :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ log_a(x) = \frac{ log_b(x) }{log_b(a)} $$

En remplaçant \(x\) par \(a^x\), toujours strictement positif sur \(\mathbb{R}\) :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R}^*_+ \hspace{0.2em} \backslash \{1\} \Bigr], \ \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ log_a(a^x) = \frac{ log_b(a^x) }{log_b(a)} $$

$$ log_b(a^x) = x \ log_b(a) $$

En appliquant maintenant \(b^x\) de chaque côté, on a :

$$ b^{log_b(a^x)} = b^{x \ log_b(a)} $$

$$ a^x = b^{x \ log_b(a)} $$

Soit finalement,

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$ a^x = b^{x \ log_b(a)} $$

Enfin, on peut aussi remarquer que :

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a^{ln(b)} = \left(e^{ln(a)} \right)^{ln(b)} = e^{ln(a)ln(b)} \\ b^{ln(a)} = \left(e^{ln(b)} \right)^{ln(a)} = e^{ln(a)ln(b)} \end{gather*}$$

Soit finalement,

$$ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^2, $$

$$ a^{ln(b)} = b^{ln(a)} $$

Mais aussi pour n'importe quel logarithme :

$$ \forall (a,b, n) \in \hspace{0.05em} \left[ \mathbb{R}^*_+ \right]^3, $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a^{log_n(b)} \\ b^{log_n(a)} = \left(n^{log_n(b)} \right)^{log_n(a)} = n^{log_n(b)log_n(a)} = a^{log_n(b)} \end{gather*}$$

$$ a^{log_n(b)} = b^{log_n(a)}$$

Récapitulatif des formules des fonctions logarithmes et exponentielles