Pour toutes ces fonctions trigonométriques, on aura pour chacune leur fonction réciproque.
Entre une fonction et sa fonction réciproque, on a la relation :
Un exemple avec la fonction \(sin(x)\) et \(arcsin(x)\) :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} f : x \longmapsto sin(x), \hspace{3.1em} \mathbb{R } \longmapsto [-1, \enspace 1] \\ f^{-1} : x \longmapsto arcsin(x), \enspace [-1, \enspace 1] \longmapsto \mathbb{R } \end{align*} $$
Attention à ne pas confondre la notation "\( f^{-1} \)" des fonctions réciproques avec celle de l'inverse.
En effet, on note "\( cos^{-1}, \ sin^{-1}, \ tan^{-1}... \)" pour les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques \( (arcsin, \ arccos, \ arctan...) \), mais c'est une notation différente de "\( f^{-1} \)" qui signifie en général la fonction inverse \( (x^{-1} = \frac{1}{x}) \).
Les fonctions trigonométriques de base : \(sin(x), cos(x), tan(x)\)
En appliquant le théorème de Thalès, on voit bien la relation :
La fonction sinus \(: sin(x)\)
La fonction \( sin(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ sin(x)' = cos(x) $$
La fonction cosinus \(: cos(x)\)
La fonction \( cos(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ cos(x)' = -sin(x) $$
La fonction tangente \(: tan(x)\)
La fonction \( tan(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ tan(x)' = 1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}= sec^2(x) $$
Les fonctions trigonométriques de base réciproques : \(arcsin(x)\), \(arccos(x)\), \( arctan(x)\)
La fonction arcsinus \(: arcsin(x)\)
La fonction \( arcsin(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sin(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arcsin(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
La fonction arccosinus \(: arccos(x)\)
La fonction \( arccos(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cos(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arccos(x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
La fonction arctangente \(: arctan(x)\)
La fonction \( arctan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arctan(x)' = \frac{1}{1 + x^2} $$
Les fonctions trigonométriques sécantes : \(cosec(x), sec(x), cotan(x)\)
Les trois fonctions trigonométriques sécantes sont les fonctions \( cosec(x), sec(x) \) et \( cotan(x) \).
Elles sont respectivement les inverses des fonctions \( sin(x), cos(x) \) et \( tan(x) \).
En appliquant le théorème de Thalès, on voit bien les relations :
$$ \left \{ \begin{align*} \frac{cosec(\theta)}{1} = \frac{1}{sin(\theta)} \Longleftrightarrow cosec(\theta) = \frac{1}{sin(\theta)} \\ \frac{sec(\theta)}{1} = \frac{1}{cos(\theta)} \Longleftrightarrow sec(\theta) = \frac{1}{cos(\theta)} \\ \frac{cotan(\theta)}{1} = \frac{cosec(\theta)}{sec(\theta)} = \frac{1}{tan(\theta)} \Longleftrightarrow cotan(\theta) = \frac{1}{tan(\theta)} \end{align*} \right \} $$
La fonction cosécante \(: cosec(x)\)
La fonction \( cosec(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ cosec(x)' = - cosec^2(x)cos(x) = -cosec(x)cotan(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{cosec'(x)}{cosec(x)} = -cosec(x)cos(x) = -tan(x)$$
La fonction sécante \(: sec(x)\)
La fonction \( sec(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ sec(x)' = sec^2(x) sin(x) = sec(x)tan(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{sec'(x)}{sec(x)} = sec(x)sin(x) = tan(x)$$
La fonction cotangente \(: cotan(x)\)
La fonction \( cotan(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ cotan(x)' = -(1 + cotan^2(x)) = - cosec^2(x) $$
La fonction arccosécante \(: arccosec(x)\)
La fonction \( arccosec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arccosec(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction arcsécante \(: arcsec(x)\)
La fonction \( arcsec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arcsec(x)' = \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction arccotangente \(: arccotan(x)\)
La fonction \( arccotan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arccotan(x)' = - \frac{1}{ 1 + x^2} $$
Les fonctions hyperboliques : \(sinh(x), cosh(x), tanh(x)\)
Les trois fonctions hyperboliques sont fonctions \( sinh(x), cosh(x) \) et \( tanh(x) \).
Elles sont le pendant respectif des fonctions \( sin(x), cos(x) \) et \( tan(x) \), notamment au niveau des propriétés.
La fonction sinus hyperbolique \(: sinh(x)\)
La fonction \( sinh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ sinh(x)' = cosh(x) $$
La fonction cosinus hyperbolique \(: cosh(x)\)
La fonction \( cosh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ cosh(x)' = sinh(x) $$
La fonction tangente hyperbolique \(: tanh(x)\)
La fonction \( tanh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ tanh(x)' = 1 - tanh^2(x) = sech^2(x) $$
Les fonctions hyperboliques réciproques : \( arcsinh(x)\), \(arccosh(x)\), \( arctanh(x)\)
La fonction arcsinus hyperbolique \(: arcsinh(x)\)
La fonction \( arcsinh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sinh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arcsinh(x) = ln \left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Elle admet pour dérivée :
$$ arcsinh(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$
La fonction arccosinus hyperbolique \(: arccosh(x)\)
La fonction \( arccosh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arccosh(x) = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - 1}\Bigr| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Elle admet pour dérivée :
$$ arccosh(x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} $$
La fonction arctangente hyperbolique \(: arctanh(x)\)
La fonction \( arctanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Elle admet pour dérivée :
$$ arctanh(x)' = \frac{1}{1 - x^2} $$
Les fonctions sécantes hyperboliques : \(cosech(x), sech(x), cotanh(x)\)
Les trois fonctions sécantes hyperboliques sont les fonctions \( cosech(x), sech(x) \) et \(cotanh(x) \).
Elles sont respectivement les inverses des fonctions \( sinh(x), cosh(x) \) et \( tanh(x) \).
La fonction cosécante hyperbolique \(: cosech(x)\)
La fonction \( cosech(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ cosech(x)' = - cosech^2(x) cosh(x) = -cosech(x)cotanh(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{cosech'(x)}{cosech(x)} = -cosech(x)cosh(x) = -cotanh(x)$$
La fonction sécante hyperbolique \(: sech(x)\)
La fonction \( sech(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ sech(x)' = -sech^2(x)sinh(x) = -sech(x)tanh(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{sech'(x)}{sech(x)} = -sech(x)sinh(x) = -tanh(x)$$
La fonction cotangente hyperbolique \(: cotanh(x)\)
La fonction \( cotanh(x) \) est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ cotanh(x)' = 1 - cotan^2(x) = -cosech^2(x)$$
La fonction arccosécante hyperbolique \(: arccosech(x)\)
La fonction \( arccosech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arccosech(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction arcsécante hyperbolique \(: arcsech(x)\)
La fonction \( arcsech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arcsech(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{\frac{1}{ x^2} - 1}} $$
La fonction arccotangente hyperbolique \(: arccotanh(x)\)
La fonction \( arccotanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Elle admet pour dérivée :
$$ arccotanh(x)' = \frac{1}{ 1 - x^2} $$
Récapitulatif des dérivées de fonctions trigonométriques
La fonction \( sin(x) \) est définie de la manière suivante :
Avec la définition de la dérivée, on a :
Avec les formules d'addition trigonométriques, on sait que :
Soit :
Lorsque \( h \to 0\), \( cos(h) \to 1\) et \( sin(h) \to h\).
Et,
Soit finalement,
$$ sin(x)' = cos(x) $$
La fonction \( cos(x) \) est définie de la manière suivante :
Avec la définition de la dérivée, on a :
Avec les formules d'addition trigonométriques, on sait que :
Soit :
Lorsque \( h \to 0\), \( cos(h) \to 1\) et \( sin(h) \to h\).
Et,
Soit finalement,
$$ cos(x)' = -sin(x) $$
La fonction \( tan(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition,
Avec la dérivée d'un quotient, on sait que :
Soit dans notre cas :
Et finalement,
$$ tan(x)' = 1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)} = sec^2(x) $$
La fonction \( arcsin(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sin(x) \), elle est définie de la manière suivante :
On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :
$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = sin(x) \\ f'(x) = cos(x) \\ f^{-1}(x) = arcsin(x) \end{align*} $$
Par suite,
Par ailleurs,
Donc,
Soit finalement,
$$ arcsin(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
La fonction \( arccos(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cos(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsin(x)'\) ci-dessus :
Soit finalement,
$$ arccos(x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
La fonction \( arctan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsin(x)'\) ci-dessus :
Soit finalement,
$$ arctan(x)' = \frac{1}{1 + x^2} $$
La fonction \( cosec(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition, on a :
On sait que la dérivée de l'inverse d'une fonction est :
Soit ici,
Et finalement,
$$ cosec(x)' = - cosec^2(x)cos(x) = -cosec(x)cotan(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{cosec'(x)}{cosec(x)} = -cosec(x)cos(x) = -tan(x)$$
La fonction \( sec(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition :
On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction :
Et finalement,
$$ sec(x)' = sec^2(x) sin(x) = sec(x)tan(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{sec'(x)}{sec(x)} = sec(x)sin(x) = tan(x)$$
La fonction \( cotan(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition :
On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction.
Et finalement,
$$ cotan(x)' = -(1 + cotan^2(x)) = - cosec^2(x) $$
La fonction \( arccosec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :
$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = cosec(x) \\ f'(x) = - cosec^2(x)cos(x) \\ f^{-1}(x) = arccosec(x) \end{align*} $$
Par ailleurs,
Mais :
Soit,
Soit finalement,
$$ arccosec(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction \( arcsec(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sec(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Exactement par le même procédé que pour le calcul \(arccosec(x)'\) ci-dessus :
$$ arcsec(x)' = \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction \( arccotan(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotan(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arccosec(x)'\) ci-dessus :
$$ arccotan(x)' = - \frac{1}{ 1 + x^2} $$
La fonction \( sinh(x) \) est définie de la manière suivante :
Ici, on va juste faire varier les exponentielles en utilisant la dérivation en chaîne :
Et finalement,
$$ sinh(x)' = cosh(x) $$
La fonction \( cosh(x) \) est définie de la manière suivante :
On utilise exactement le même procédé que pour le calcul de \(sinh(x)'\) :
Et finalement,
$$ cosh(x)' = sinh(x) $$
La fonction \( tanh(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition, on a :
On applique la dérivée d'un quotient :
Et finalement,
$$ tanh(x)' = 1 - tanh^2(x) = sech^2(x) $$
La fonction \( arcsinh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sinh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arcsinh(x) = ln \left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :
$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = sinh(x) \\ f('x) = cosh(x) \\ f^{-1}(x) = arcsinh(x) \end{align*} $$
Par ailleurs,
Soit,
Soit finalement,
$$ arcsinh(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$
La fonction \( arccosh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$arccosh(x) = ln \Bigl| x + \sqrt{x^2 - 1}\Bigr| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsinh(x)'\) ci-dessus :
$$ arccosh(x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 -1}} $$
La fonction \( arctanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( tanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :
$$ arctanh(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| $$
(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration)
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arcsinh(x)'\) ci-dessus :
$$ arctanh(x)' = \frac{1}{1 - x^2} $$
La fonction \( cosech(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition, on a :
On sait que la dérivée de l'inverse d'une fonction est :
Soit ici,
Et finalement,
$$ cosech(x)' = - cosech^2(x) cosh(x) = -cosech(x)cotanh(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{cosech'(x)}{cosech(x)} = -cosech(x)cosh(x) = -cotanh(x)$$
La fonction \( sech(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition, on a :
On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction.
Et finalement,
$$ sech(x)' = -sech^2(x)sinh(x) = -sech(x)tanh(x) $$
On remarque par ailleurs que :
$$ \frac{sech'(x)}{sech(x)} = -sech(x)sinh(x) = -tanh(x)$$
La fonction \( cotanh(x) \) est définie de la manière suivante :
Par définition, on a :
On applique encore la dérivée de l'inverse d'une fonction.
Et finalement,
$$ cotanh(x)' = 1 - cotan^2(x) = -cosech^2(x) $$
La fonction \( arccosech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cosech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
On peut calculer cette dérivée en passant par la dérivée d'une fonction réciproque :
$$ avec \ \Biggl \{ \begin{align*} f(x) = cosech(x) \\ f'(x) = - cosech^2(x) \ cosh(x) \\ f^{-1}(x) = arccosech(x) \end{align*} $$
Par ailleurs,
Soit,
Mais :
Soit,
Soit finalement,
$$ arccosech(x)' = - \frac{1}{ x^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction \( arcsech(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( sech(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arccosech(x)'\) ci-dessus :
$$ arcsech(x)' = - \frac{1}{ x^2} \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ x^2}}} $$
La fonction \( arccotanh(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( cotanh(x) \), elle est définie de la manière suivante :
Exactement par le même procédé que pour le calcul de \(arccosech(x)'\) ci-dessus :
$$ arccotanh(x)' = \frac{1}{ 1 - x^2} $$
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