Calculs de surfaces et de volumes par intégration

Les surfaces

Le calcul de la surface du cercle

La surface du cercle de rayon $ R$ vaut :

$$ S_{cercle} = \pi R^2 $$

Le calcul de la surface de la sphère

La surface de la sphère de rayon $ R$ vaut :

$$ S_{sphere} = 4\pi R^2 $$

Le calcul de la surface du cône

Le cône est une pyramide à base circulaire. Il est caractérisé par sa hauteur $ h$ et le rayon $ R$ de sa base.

Le cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r

La surface d'un cône de hauteur $ h$ avec une base circulaire de rayon $ r$ vaut :

$$ S_{cône} = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} $$

Les volumes

Le calcul du volume de la sphère

Le volume de la sphère de rayon $ R$ vaut :

$$ V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3 $$

Le calcul du volume du cône

Le volume d'un cône de hauteur $ h$ avec une base circulaire de rayon $ r$ vaut :

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2 h}{3} $$

Démonstrations

Les surfaces

Le calcul de la surface du cercle

Soit un cercle de rayon $ R$, et $ \theta $ un angle infinitésimal.

Considérons un triangle isocèle infinitésimal $ \Delta $ formé par $ \bigl\{x, R, Rd\theta \bigr\}$, tel que la figure suivante.

Cercle dans lequel on a représenté un triangle isocèle infinitésimal formé par le rayon du cercle

Soit $ S_{\Delta} $ la surface de ce triangle. Étant donné que $ \Delta $ est infinitésimal, on considère qu'il est rectangle entre $ x $ et $ Rd\theta $.

$$ dS_{\Delta} = \frac{1}{2}R^2d\theta$$

Nous allons alors intégrer la surface de $ \Delta $ sur la distance curviligne $ Rd\theta$. Il faut donc additionner les différentes surfaces $dS_{\Delta}$ sur l'angle $\alpha$.

$$ \int_0^{\alpha} dS_{\Delta} = \int_0^{\alpha} \frac{1}{2}R^2d\theta $$

$$ S(\alpha) = \frac{1}{2}R^2 \int_0^{\alpha} d\theta $$

$$ S(\alpha) = \frac{1}{2}R^2 \Bigl[ \theta \Bigr]_0^{\alpha} $$

$$ S(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\alpha$$

Surface balayée par la rayon du cercle sur un angle alpha

Soit pour $ \alpha = 2\pi $ :

$$ S(2\pi) = \frac{2\pi}{2}R^2 $$

Soit finalement,

$$ S_{cercle} = \pi R^2 $$

Le calcul de la surface de la sphère

Considérons un cercle de rayon $ R$, et $ \theta $ un angle formé par le rayon $ R$ et la base $ \overrightarrow{Ox}$.

De même, considérons une longueur infinitésimale curviligne $ dl = dR \theta$, telle que la figure suivante :

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul de la surface

Sur la figure, nous y avons aussi ajouté le rayons $x$ mobile en fonction de $\theta$.

Avec les règles de trigonométrie, on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} x = R cos(\theta) \qquad (1) \\ y = R sin(\theta) \end{align*}$$

En considérant un périmètre mobile du cercle en fonction de $x$, on a :

$$ P(x) = 2\pi x \qquad (2) $$

En injectant $(1)$ dans $(2)$ :

$$ P(\theta) = 2\pi R cos(\theta) \qquad (3)$$

Nous avons alors une surface infintésimale $ dS$, représentée en rouge sur la figure ci-dessous.

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul de la surface - 2

$$ dS = P(\theta).dl \qquad (4) $$

Mais on aussi :

$$ dl = dR \theta \qquad (5) $$

Maintenant, en injectant $(3)$ et $(5)$ dans $(4)$ :

$$ dS = 2\pi R cos(\theta) .dR \theta $$

Nous allons intégrer l'angle $ \theta $ sur $ [0, \frac{\pi}{2}] $, ce qui couvrera la surface d'une demi-sphère.

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} dS = \int_0^{\frac{\pi}{2}}2\pi R cos(\theta) .dR \theta $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(\theta).d \theta $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2\Bigl[ sin(\theta) \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2\Bigl( sin\left( \frac{\pi}{2}\right) - sin(0) \Bigr) $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2 $$

Pour avoir la surface complète, on va simplement doubler cette valeur.

$$ S_{sphere} = 2S_{\frac{1}{2}} $$

Soit finalement,

$$ S_{sphere} = 4\pi R^2 $$

Le calcul de la surface du cône

Considérons un cône de hauteur $h$ et de base circulaire de rayon $ R$.

Par simplicité de la démonstration, nous avons retourné ce cône.

Appelons la surface de la base $S_{base}$ et la surface autour de l'axe vertical $S_{axe}$.

Le calcul de la surface totale de ce cône vaut alors :

$$ S_{cône} = S_{base} + S_{axe} $$

Calcul de la surface de la base $ : S_{base}$

Le surface de sa base est la surface du cercle de rayon $r$, soit :

$$ S_{base} = \pi r ^2 $$

Calcul de la surface autour de l'axe vertical $ : S_{axe}$

Sur la figure suivante, nous y avons ajouté une hauteur mobile $y$, ainsi qu'un rayon mobile $x$.

Le rayon mobile $x$ varie alors en fonction de $y$.

Notons $P(x)$ le périmètre mobile du cercle fonction de $x$. On a :

$$ P(x) = 2\pi x \qquad (1) $$

En appliquant le théorème de Thalès, on a :

$$ \frac{x}{r} = \frac{y}{h} \Longleftrightarrow x = \frac{yr}{h} \qquad (2) $$

Soit en injectant $(2)$ dans $(1)$, on obtient un périmètre mobile, cette fois en fonction de $y$ :

$$ P(y) = \frac{2 \pi yr}{h} $$

Afin de couvrir l'intégralité de la surface verticale, nous allons intégrer ce périmètre sur toute la distance $l$, hypoténuse du triangle rectangle $\{x, y, l\}$.

Notons maintenant $S_{axe}(y)$ cette surface à calculer, qui est fonction de la hauteur mobile $y$.

Et appelons $dS$ un élément de surface infinitésimal, on a :

$$ dS= P(y) \ dl $$

$$ \int_0^{h} dS = \int_0^{h} \frac{2 \pi yr}{h} \ dl $$

$$ \int_0^{h} dS = \frac{2 \pi r}{h} \int_0^{h} y \ dl \qquad (3) $$

Or, en appliquant le théorème de Pythagore, on voit que :

$$ l^2 = x^2 + y^2 $$

$$ l = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Soit si l'on veut conserver une partie infinitésimale $dl$ :

$$ dl = d\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) \qquad (4) $$

Mais, on avait précédemment avec $(2)$ :

$$ x = \frac{yr}{h} \qquad (2) $$

Par suite, on injecte $(2)$ dans $(4)$ et :

$$ dl = d\left(\sqrt{\left (\frac{yr}{h}\right)^2 + \ y^2}\right) $$

$$ dl = d\left(\sqrt{\frac{y^2 r^2}{h^2} + \ y^2}\right) $$

$$ dl = d\left(y^2 \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \right) $$

$$ dl = \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) dy \qquad (5) $$

À présent, en injectant $(5)$ dans $(3)$, on obtient une intégrande qui est uniquement en fonction de $y$ :

$$ S_{axe}(y) = \int_0^{h} dS = \frac{2 \pi r}{h} \int_0^{h} y \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) dy $$

On sort à nouveau quelques constantes :

$$ S_{axe}(y) = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \int_0^{h} y \ dy $$

Et on intègre :

$$ S_{axe}(y) = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \Biggl[ \frac{y^2}{2} \Biggr]_0^h $$

Après intégration, il ne reste plus que des constantes.

$$ S_{axe} = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \Biggl( \frac{h^2}{2} - \frac{0^2}{2} \Biggr) $$

$$ S_{axe} = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \frac{h^2}{2} $$

$$ S_{axe} = \pi r h \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) $$

$$ S_{axe} = \pi r h \left ( \sqrt{\frac{r^2+ h^2}{h^2} }\right) $$

$$ S_{axe} = \pi r \sqrt{ r^2+ h^2} $$

Soit finalement une surface totale,

$$ S_{cône} = S_{base} + S_{axe} $$

$$ S_{cône} = \pi r ^2 + \pi r \sqrt{ r^2+ h^2} $$

Soit $ r$ le rayon du cercle représenté dans un repère $(O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})$ et $ R$ le rayon de la sphère représenté dans un repère $(O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})$. Ces deux rayons $ r$ et $ R$ sont de même longueurs.

De même, considérons une longueur infinitésimale verticale $ dz $, telle que la figure suivante :

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul du volume

Les deux rayons $r$ et $R$ sont respectivement mobiles en fonction de $x, y$ et $x, y, z$.

Avec le théorème de Pythagore, on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} r^2 = x^2 + y^2 \\ R^2 = x^2 + y^2 + z^2 \end{align*} $$

Soit,

$$ r = \sqrt{R^2 - z^2} \qquad (1) $$

En considérant une surface mobile du cercle en fonction de $r$, on a :

$$ S(r) = \pi r^2 \qquad (2) $$

Injectant $(1)$ dans $(2)$ :

$$ S(z) = \pi (R^2 - z^2) \qquad (3)$$

Nous avons alors un volume infintésimal $ dV$, représenté en bleu sur la figure ci-dessous.

$$ dV = S(z).dz \qquad (4) $$

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul du volume - 2

À présent, en injectant $(3)$ dans $(4)$ :

$$ dV =\pi (R^2 - z^2).dy $$

Nous allons intégrer l'axe $y $ sur $ [0, R] $, ce qui couvrera le volume d'une demi-sphère.

$$ \int_0^{R} dV = \pi \int_0^{R} (R^2 - z^2) .dz $$

$$V_{\frac{1}{2}} = \pi \Bigl[ R^2z - \frac{z^3 }{3}\Bigr]_0^{R} $$

$$V_{\frac{1}{2}} = \pi \Bigl( R^3 - \frac{R^3 }{3} - (0 - 0 ) \Bigr) $$

$$V_{\frac{1}{2}} = \pi \Biggl( \frac{2R^3 }{3} \Biggr) $$

Pour avoir le volume complet, on va simplement doubler cette valeur.

$$ V_{sphere} = 2V_{\frac{1}{2}} $$

Soit finalement,

$$ V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3 $$

Le calcul du volume du cône

Considérons un cône de hauteur $h$ et de base circulaire de rayon $ r$.

Par simplicité de la démonstration, nous avons retourné ce cône.

De même, nous y avons ajouté une hauteur mobile $y$, ainsi qu'un rayon mobile $x$.

Calcul du volume du cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r - demo 1

Le rayon mobile $x$ varie alors en fonction de $y$.

En appliquant le théorème de Thalès, on a :

$$ \frac{x}{r} = \frac{y}{h} \Longleftrightarrow x = \frac{yr}{h} \qquad (1) $$

Or, on sait que la surface du cercle de rayon $R$ vaut :

$$ S_{cercle} = \pi R^2 $$

Soit dans le cas de notre rayon mobile $x$, appelons cette surface mobile $S(x)$ :

$$ S(x) = \pi x^2 \qquad (2) $$

En injectant $(2)$ dans $(1)$, on obtient la surface de ce même cercle, cette fois fonction de $y$ :

$$ S(y) = \pi \left( \frac{yr}{h} \right)^2 $$

$$ S(y) = \pi \frac{y^2r^2}{h^2} \qquad (3) $$

Calcul du volume du cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r - demo 2

Le volume total sera alors l'addition de toutes ces surfaces mobile, selon l'axe vertical jusque $h$.

Appelons $dV$ un élément de volume infinitésimal, on a :

$$ dV= S(y) \ dy $$

En injectant maintenant la valeur de $S(y)$ grâce à $(3)$ :

$$ \int_0^{h} dV = \int_0^{h} \frac{\pi y^2r^2}{h^2} \ dy $$

On sort les constantes :

$$ V_{cône} = \int_0^{h} dV = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^{h} y^2 \ dy $$

On a alors :

$$ V_{cône}(y) = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^{h} y^2 \ dy $$

On peut à présent intégrer:

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2}{h^2} \Biggl( \frac{h^3}{3} -\frac{0^3}{3} \Biggr) $$

Calcul du volume du cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r - demo 3

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2h}{3} $$

Soit finalement,

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2 h}{3} $$

Calculs de surfaces et de volumes par intégration

Démonstrations

Les surfaces

Le calcul de la surface du cercle

Le calcul de la surface de la sphère

Le calcul de la surface du cône

Calcul de la surface de la base \( : S_{base}\)

Calcul de la surface autour de l'axe vertical \( : S_{axe}\)

Les volumes

Le calcul du volume de la sphère

Le calcul du volume du cône