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Le calcul du volume du cône

Le volume d'un cône de hauteur \( h\) avec une base circulaire de rayon \( r\) vaut :

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2 h}{3} $$


Démonstration

Soit un cône de hauteur \(h\) et de base circulaire de rayon \( R\).

Le cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r - demo

Par simplicité de la démonstration, nous avons retourné ce cône.

De même, nous y avons ajouté une hauteur mobile \(y\), ainsi qu'un rayon mobile \(x\).

Calcul du volume du cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r - demo

Le rayon mobile \(x\) varie alors en fonction de \(y\).


En appliquant le théorème de Thalès, on a :

$$ \frac{x}{r} = \frac{y}{h} \Longleftrightarrow x = \frac{yr}{h} \qquad (1) $$

Or, on sait que la surface du cercle de rayon \(R\) vaut :

$$ S_{cercle} = \pi R^2 $$

Soit pour notre rayon mobile \(x\), appelons cette surface mobile \(S(x)\) :

$$ S(x) = \pi x^2 \qquad (2) $$

En injectant \((2)\) dans \((1)\), on obtient la surface de ce même cercle, cette fois fonction de \(y\) :

$$ S(y) = \pi \left( \frac{yr}{h} \right)^2 $$

$$ S(y) = \pi \frac{y^2r^2}{h^2} \qquad (3) $$

Calcul du volume du cône - ajout de la surface mobile dS

Le volume total sera alors l'addition de toutes ces surfaces mobile, selon l'axe vertical jusque \(h\).


Appelons \(dV\) un élément de volume infinitésimal, on a :

$$ dV= S(y) \ dy $$

On injecte la valeur de \(S(y)\) grâce à \((3)\).

$$ \int_0^{h} dV = \int_0^{h} \frac{\pi y^2r^2}{h^2} \ dy $$

On sort les constantes :

$$ V_{cône} = \int_0^{h} dV = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^{h} y^2 \ dy $$

On a alors :

$$ V_{cône}(y) = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^{h} y^2 \ dy $$

Et on intègre :

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2}{h^2} \Biggl( \frac{h^3}{3} -\frac{0^3}{3} \Biggr) $$

Calcul du volume du cône - intégration sur la hauteur mobile y

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2h}{3} $$


Soit finalement,

$$ V_{cône} = \frac{\pi r^2 h}{3} $$

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