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Le calcul du volume de la sphère

Le volume de la sphère de rayon \( R\) vaut :

$$ V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3 $$


Démonstration

Soit \( r\) le rayon du cercle représenté dans un repère \((O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})\) et \( R\) le rayon de la sphère représenté dans un repère \((O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})\).

Considérons une longueur infinitésimale verticale \( dz \), telle que la figure suivante :

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul du volume

Les deux rayons \(r\) et \(R\) sont respectivement mobiles en fonction de \(x, y\) et \(x, y, z\).

Avec le théorème de Pythagore, on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} r^2 = x^2 + y^2 \\ R^2 = x^2 + y^2 + z^2 \end{align*} $$

Soit,

$$ r = \sqrt{R^2 - z^2} \qquad (1) $$

En considérant une surface mobile du cercle en fonction de \(r\), on a :

$$ S(r) = \pi r^2 \qquad (2) $$

En injectant \((1)\) dans \((2)\) :

$$ S(z) = \pi (R^2 - z^2) \qquad (3)$$

Nous avons alors un volume infintésimal \( dV\), représenté en bleu sur la figure ci-dessous.

$$ dV = S(z).dz \qquad (4) $$

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul du volume - 2

En injectant \((3)\) dans \((4)\) :

$$ dV =\pi (R^2 - z^2).dy $$

Nous allons intégrer l'axe \(y \) sur \( [0, R] \), ce qui couvrera le volume d'une demi-sphère.

Couverture du volume de la sphère

$$ \int_0^{R} dV = \pi \int_0^{R} (R^2 - z^2) .dz $$

$$V_{\frac{1}{2}} = \pi \Bigl[ R^2z - \frac{z^3 }{3}\Bigr]_0^{R} $$

$$V_{\frac{1}{2}} = \pi \Bigl( R^3 - \frac{R^3 }{3} - (0 - 0 ) \Bigr) $$

$$V_{\frac{1}{2}} = \pi \Biggl( \frac{2R^3 }{3} \Biggr) $$

Pour avoir le volume complet, on va simplement doubler cette valeur.

$$ V_{sphere} = 2V_{\frac{1}{2}} $$


Soit finalement,

$$ V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3 $$

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