Index des cours

Le calcul de la surface du cône

Le cône est une pyramide à base circulaire. Il est caractérisé par sa hauteur \( h\) et le rayon \( R\) de sa base.

Le cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r

La surface d'un cône de hauteur \( h\) avec une base circulaire de rayon \( r\) vaut :

$$ S_{cône} = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2} $$


Démonstration

Soit un cône de hauteur \(h\) et de base circulaire de rayon \( R\).

Par simplicité de la démonstration, nous avons retourné ce cône.

Le cône de hauteur h et de base circulaire de rayon r - demo

Appelons la surface de la base \(S_{base}\) et la surface autour de l'axe vertical \(S_{axe}\).

Le calcul de la surface totale de ce cône vaut alors :

$$ S_{cône} = S_{base} + S_{axe} $$


  1. Calcul de la surface de la base \( : S_{base}\)

  2. Le surface de sa base est la surface du cercle de rayon \(r\).

    Soit,

    $$ S_{base} = \pi r ^2 $$

  3. Calcul de la surface autour de l'axe vertical \( : S_{axe}\)

  4. Sur la figure suivante, nous y avons ajouté une hauteur mobile \(y\), ainsi qu'un rayon mobile \(x\).

    Ajout des hauteur et rayon mobiles (x et y)

    Le rayon mobile \(x\) varie alors en fonction de \(y\).

    Notons \(P(x)\) le périmètre mobile du cercle fonction de \(x\). On a :

    $$ P(x) = 2\pi x \qquad (1) $$

    En appliquant le théorème de Thalès, on a :

    $$ \frac{x}{r} = \frac{y}{h} \Longleftrightarrow x = \frac{yr}{h} \qquad (2) $$

    Soit en injectant \((2)\) dans \((1)\), on obtient un périmètre mobile, cette fois en fonction de \(y\) :

    $$ P(y) = \frac{2 \pi yr}{h} $$


    Afin de couvrir l'intégralité de la surface verticale, nous allons intégrer ce périmètre sur toute la distance \(l\), hypoténuse du triangle rectangle \(\{x, y, l\}\).

    Ajout du périmètre mobile de la longueur l sur laquelle intégrer

    Notons maintenant \(S_{axe}(y)\) cette surface à calculer, qui est fonction de la hauteur mobile \(y\).

    Appelons \(dS\) un élément de surface infinitésimal, on a :

    $$ dS= P(y) \ dl $$

    Ajout de la surface infinitésimale dS

    $$ \int_0^{h} dS = \int_0^{h} \frac{2 \pi yr}{h} \ dl $$

    $$ \int_0^{h} dS = \frac{2 \pi r}{h} \int_0^{h} y \ dl \qquad (3) $$


    Or, en appliquant le théorème de Pythagore, on voit que :

    $$ l^2 = x^2 + y^2 $$

    $$ l = \sqrt{x^2 + y^2} $$

    Soit si l'on veut conserver une partie infinitésimale \(dl\) :

    $$ dl = d\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) \qquad (4) $$

    Mais on avait précédemment que :

    $$ x = \frac{yr}{h} \qquad (2) $$

    On injecte alors \((2)\) dans \((4)\) :

    $$ dl = d\left(\sqrt{\left (\frac{yr}{h}\right)^2 + \ y^2}\right) $$

    $$ dl = d\left(\sqrt{\frac{y^2 r^2}{h^2} + \ y^2}\right) $$

    $$ dl = d\left(y^2 \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \right) $$

    $$ dl = \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) dy \qquad (5) $$


    À présent, en injectant \((5)\) dans \((3)\), on obtient une intégrande qui est uniquement en fonction de \(y\) :

    $$ S_{axe}(y) = \int_0^{h} dS = \frac{2 \pi r}{h} \int_0^{h} y \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) dy $$

    On sort à nouveau quelques constantes :

    $$ S_{axe}(y) = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \int_0^{h} y \ dy $$

    Intégration sur toute la hauteur mobile y

    Et on intègre :

    $$ S_{axe}(y) = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \Biggl[ \frac{y^2}{2} \Biggr]_0^h $$

    Après intégration, il ne reste plus que des constantes.

    $$ S_{axe} = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \Biggl( \frac{h^2}{2} - \frac{0^2}{2} \Biggr) $$

    $$ S_{axe} = \frac{2 \pi r}{h} \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) \frac{h^2}{2} $$

    $$ S_{axe} = \pi r h \left ( \sqrt{\frac{r^2}{h^2} + 1 }\right) $$

    $$ S_{axe} = \pi r h \left ( \sqrt{\frac{r^2+ h^2}{h^2} }\right) $$

    $$ S_{axe} = \pi r \sqrt{ r^2+ h^2} $$


Soit finalement une surface totale,

$$ S_{cône} = S_{base} + S_{axe} $$

$$ S_{cône} = \pi r ^2 + \pi r \sqrt{ r^2+ h^2} $$

Index des cours
Retour en haut de page