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Le calcul de la surface du cercle

La surface du cercle de rayon \( R\) vaut :

$$ S_{cercle} = \pi R^2 $$


Démonstration

Soit un cercle de rayon \( R\), et \( \theta \) un angle infinitésimal.

Considérons un triangle isocèle infinitésimal \( \Delta \) formé par \( \bigl\{x, R, Rd\theta \bigr\}\), tel que la figure suivante.

Cercle dans lequel on a représenté un triangle isocèle infinitésimal formé par le rayon du cercle

Soit \( S_{\Delta} \) la surface de ce triangle. Étant donné que \( \Delta \) est infinitésimal, on considère qu'il est rectangle entre \( x \) et \( Rd\theta \).

$$ dS_{\Delta} = \frac{1}{2}R^2d\theta$$

Nous allons alors intégrer la surface de \( \Delta \) sur la distance curviligne \( Rd\theta\). Il faut donc additionner les différentes surfaces \(dS_{\Delta}\) sur l'angle \(\alpha\).

$$ \int_0^{\alpha} dS_{\Delta} = \int_0^{\alpha} \frac{1}{2}R^2d\theta $$

$$ S(\alpha) = \frac{1}{2}R^2 \int_0^{\alpha} d\theta $$

$$ S(\alpha) = \frac{1}{2}R^2 \Bigl[ \theta \Bigr]_0^{\alpha} $$

$$ S(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\alpha$$

Surface balayée par la rayon du cercle sur un angle alpha

Soit pour \( \alpha = 2\pi \) :

$$ S(2\pi) = \frac{2\pi}{2}R^2 $$


Soit finalement,

$$ S_{cercle} = \pi R^2 $$

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