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Le calcul de la surface de la sphère

La surface de la sphère de rayon \( R\) vaut :

$$ S_{sphere} = 4\pi R^2 $$


Démonstration

Soit \( R\) le rayon de cercle, \( \theta \) un angle formé par le rayon \( R\) et la base \( \overrightarrow{Ox}\).

Considérons une longueur infinitésimale curviligne \( dl = dR \theta\), telle que la figure suivante :

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul de la surface

Sur la figure, nous y avons aussi ajouté le rayons \(x\) mobile en fonction de \(\theta\).

Avec les règles de trigonométrie, on a :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} x = R cos(\theta) \qquad (1) \\ y = R sin(\theta) \end{align*}$$

En considérant un périmètre mobile du cercle en fonction de \(x\), on a :

$$ P(x) = 2\pi x \qquad (2) $$

En injectant \((1)\) dans \((2)\) :

$$ P(\theta) = 2\pi R cos(\theta) \qquad (3)$$

Nous avons alors une surface infintésimale \( dS\), représentée en rouge sur la figure ci-dessous.

Représentation d'une sphère de rayon R avec le détails des éléments de calcul de la surface - 2

$$ dS = P(\theta).dl \qquad (4) $$

Mais on aussi :

$$ dl = dR \theta \qquad (5) $$

En injectant \((3)\) et \((5)\) dans \((4)\) :

$$ dS = 2\pi R cos(\theta) .dR \theta $$

Nous allons intégrer l'angle \( \theta \) sur \( [0, \frac{\pi}{2}] \), ce qui couvrera la surface d'une demi-sphère.

Couverture de la surface de la sphère

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} dS = \int_0^{\frac{\pi}{2}}2\pi R cos(\theta) .dR \theta $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(\theta).d \theta $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2\Bigl[ sin(\theta) \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2\Bigl( sin\left( \frac{\pi}{2}\right) - sin(0) \Bigr) $$

$$S_{\frac{1}{2}} = 2\pi R^2 $$

Pour avoir la surface complète, on va simplement doubler cette valeur.

$$ S_{sphere} = 2S_{\frac{1}{2}} $$


Soit finalement,

$$ S_{sphere} = 4\pi R^2 $$

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