Démonstrations mathématiques

Ce site est consacré aux mathématiques, et notamment à des démonstrations. Il est conçu pour présenter certaines notions, notamment de niveau collège/lycée (un peu plus dans certains cas) et pour encourager l'apprentissage de la matière.

Par ailleurs, il sert de référentiel pour mes élèves de cours particuliers, mais il est ouvert de même à tout ceux qui le souhaitent.

Josselin DOUINEAU, professeur de mathématiques.

Liste des thématiques

Géométrie du triangle

Géométrie du cercle

Trigonométrie

Nombres complexes

Géométrie dans l'espace

Polynômes

Limites et continuités

Règle de L'Hôpital $ : \enspace lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} $

Dérivées

Intégrales/primitives

Équations différentielles

Analyse asymptotique

Formule de Taylor-Young avec reste intégral $ : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} {\displaystyle \int^x } \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt $

Divers

Fonctions logarithme et exponentielle $ : ln(ab) = ln(a) + ln(b) $

Structure des pages du site

Titre

1) Formule 1

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

2) Formule 2

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

3) Récapitulatif

Démonstrations

1) Formule 1

On démontre la formule suivante ...etc.

$$ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $$

$$ \frac{ad}{c} = \frac{bd}{d} $$

$$ \frac{adc}{c} = bc$$

$$...etc.$$

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

2) Formule 2

On démontre cette formule par...etc.

$$ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $$

$$ ... $$

$$ ...etc. $$

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

3) Récapitulatif

$$ condition $$	$$ fonction $$
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, $$	$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.05em} \bigl[\mathbb{R}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$	$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} $$

Exemples

1) Exemple 1

Voici un exemple d'utilisation de ce théorème :

$$ \frac{20 [g]}{6 [L]} = \frac{X [g]}{1 [L]} $$

Appliquons le théorème et trouvons l'inconnue...etc.

Démonstrations mathématiques

Calcul élémentaire \( (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

Propriétés des fractions \( : \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc \)

Propriétés des puissances de x \( : x^a x^b = x^{a+b}\)

Binôme de Newton \( : (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

Identité géométrique \( : a^n - b^n = (a-b) \sum a^{n-p-1}b^p \)

Propriétés du binôme \( : \binom{n}{p} = \binom{n -1}{p -1 } + \binom{n - 1}{p} \)

Propriétés des matrices \( : (A \times B)_{i,j} = \sum a_{i,k} \times b_{k,j} \)

Géométrie \( a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

Théorème de Pythagore et sa réciproque \( : a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

Théorème d'Al-Kashi \( : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \)

Théorème de Thalès et sa réciproque \( : BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \)

Loi des sinus \( : \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} \)

Similarité de deux triangles

Triangle rectangle inscrit dans le cercle

Calcul de Pi \( (\pi)\) par méthode géométrique

Puissance d'un point par rapport à un cercle \( : OA \times OB = OC \times OD \)

Formules de duplications/additions trigonométriques \( : sin(2\alpha), \ sin(\alpha + \beta)... \)

Formules trigonométriques d'Euler \( : e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) \)

Propriétés de nombres complexes \(: |z|, \ arg(z), \ \bar{z} \)

Formule de Moivre \( : \Bigl[cos(\theta) + isin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + isin(n\theta) \)

Calculs de surfaces et de volumes par intégration \(: S_{sphere} = 4\pi R^2 \)

Propriétés du produit scalaire \( : \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v})\)

Propriétés du produit vectoriel \( : || \vec{u} \land \vec{v} || = || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \times sin(\vec{u}, \vec{v}) \)

Géométrie analytique dans l'espace \( : M \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0 \)

Analyse \( F(x) = F(a) + {\displaystyle \int_a^x } f(t) \ dt \)

Résolution d'équations du second degré \( : P_2(X) = aX^2 + bX + c = 0\)

Interpolation polynomiale Langrangienne \( : L(X) = y_0 L_0(X) + y_1 L_1(X) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} y_n L_n(X) \)

Règle de L'Hôpital \( : \enspace lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Dérivabilité \(: f'(x) = lim_{\Delta_x \to 0} \ \frac{\Delta_{f(x)}}{\Delta_x} = \frac{df}{dx} \)

Dérivées des fonctions usuelles \(: (x^2)' , \ \big[ln(x)\big]' , \ \left(\frac{1}{x}\right)'... \)

Dérivées des fonctions trigonométriques \( : sin(x)', \ cos(x)' , \ tan(x)'... \)

Dérivées d'opérations sur les fonctions \( : (f \circ g)' = g'(f' \circ g) \)

Convexité \( : f \enspace convexe \enspace sur \enspace I \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) \)

Théorème des accroissements finis \( : \exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \)

Méthode de Newton : une méthode pour approximer la valeur d'un nombre

Propriétés de l'intégrale \(: {\displaystyle \int^x } \bigl(\lambda f + \mu g \bigr) \ dt = \lambda {\displaystyle \int^x } f \ dt + \mu {\displaystyle \int^x } g \ dt \)

Lien entre intégrales et primitives \( : F(x) = F(a) + {\displaystyle \int_a^x } f(t) \ dt \)

Primitives usuelles et méthodes générales d'intégration \( : {\displaystyle \int_a^b } (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - {\displaystyle \int_a^b } (fg') \hspace{0.2em}dt \)

Méthodes d'intégration des fractions rationnelles \( : {\displaystyle \int^x } \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right| \)

Méthodes d'intégration des fractions rationnelles avec racines carrées \( : {\displaystyle \int^x } \frac{dt}{\sqrt{a^2 + t^2}} = ln \left|\sqrt{ a^2 + x^2 } + x\right| \)

Primitives des fonctions trigonométriques \( : {\displaystyle \int^x } tan(t) \ dt = - ln|cos(x)| \)

Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficient continu \( : y' + a(x)y = f(x) \)

Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants \( : y'' + ay' + by= f(x) \)

Principe de superposition

Formule de Taylor-Young avec reste intégral \( : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} {\displaystyle \int^x } \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt \)

Fonctions logarithme et exponentielle \( : ln(ab) = ln(a) + ln(b) \)

Suites et séries \( \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} \)

Téléscopage de termes d'une série numérique récurrente \( : \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} \)

Sommes usuelles \( : \sum k, \ \sum k^2, \ \sum k^3, \ \sum (2k+1)... \)

Arithmétique \( b \nmid a \Longrightarrow a = bq + R \)

Propriétés de la divisibilité \( : ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b \)

Algorithme d'Euclide \( : b \nmid a \Longleftrightarrow a = bq + R \)

Propriétés du PGCD de deux entiers naturels \( : a = bq + R \Longrightarrow PGCD(a, b) = PGCD(b, R) \)

Propriétés des nombres premiers \( : p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 \)

Propriétés des congruences \( : a \equiv b \hspace{0.2em} [n] \Longleftrightarrow n/(a -b) \)

Théorème de Bézout et son corollaire \( : a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow au + bv = 1 \)

Théorème de Gauss et son corollaire \( : a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c \)

Petit théorème de Fermat et son corollaire \( : a^p \equiv a \hspace{0.2em} [p] \)

Glossaire des symboles